ИСТИНА

Существует ряд подходов к созданию математических моделей механики сплошных сред. Одним из перспективных направлений, дающих возможность наиболее точно аналитически описать поведение среды, является моделирование связанных полей различной физической природы, примером чего является модель упругой диффузии. Она позволяет описать взаимодействие поля перемещений и поля концентраций в деформируемом твёрдом теле. Большинство имеющихся моделей упругой диффузии представлены в стационарной или нестационарной постановке. Для решения этих задач нередко используются численные алгоритмы, однако для описания реальных и сложных процессов требуется, как минимум, стационарная аналитическая модель. В работе рассматривается одномерная стационарная задача механодиффузии для однородного сплошного цилиндра. Математическая постановка задачи в цилиндрической системе координат представляет собой связанную систему уравнений в частных производных, состоящую из двух уравнений, в которых содержатся искомые функции перемещений и концентраций. На границах среды задаются перемещения или нормальные напряжения, а также приращения концентраций. В случае полупространства, один из наборов граничных условий заменяется на условие ограниченности искомых величин на бесконечности. Начальных условий в данной задаче нет, поскольку задача статическая. Решение поставленной задачи может быть найдено двумя способами. Первый способ стандартный, он предполагает введение удобной замены для системы функций, после чего составляется определитель системы, из равенства нулю которого вытекает характеристическое уравнение. Решив его, находим корни и строим фундаментальную систему решений, а затем используем граничные условия для нахождения констант интегрирования. В результате мы получаем окончательные выражения для искомых функций. Второй способ несколько сложнее, поскольку заданную систему дифференциальных уравнений в частных производных необходимо свести к одному дифференциальному уравнению и затем решить его тем или иным способом, в зависимости от того, к какому типу принадлежит полученное дифференциальное уравнение. В частности, при решении данной задачи, система уравнений упругой диффузии свелась к уравнению Эйлера, решение которого хорошо известно. Далее, по одной из найденных функций удалось определить другую, ибо, в процессе решения, получилось найти точную зависимость между искомыми функциями. Наиболее трудоемкие численные расчеты выполнены в пакете Maple 2016.