ИСТИНА

Пусть S ∞ – группа финитных перестановок натурального ряда. Рассмотрим произведение G = S ∞ х $S(\infty)\times S(\infty) \times S(\infty)$ трех копий $S(\infty)$, рассмотрим ее диагональ $K \simeq S_\infty$. В диагонали рассматривается семейство подгрупп $K_\alpha$ – стабилизаторов точек 1, 2, … , \alpha\in \mathbb N$. Берутся множества двойных классов смежности $P(\alpha,\beta)= K_\alpha\setminus G/K_\beta$. Оказывается, что существует естественное ассоциативное умножение P (α, β) х P (β, γ) → P (α, γ), так что мы получаем структуру категории L. Мы описываем эту категорию в комбинаторных терминах, двойным классам смежности соответствуют триангулированные раскрашенные двумерные поверхности, а умножение похоже на склейку кобордизмов. Более того, любому унитарному представлению группы G канонически соответствует представление категории L, а представлениям категории L соответствуют представления G, непрерывные в некоторой топологии. Похожие явления возникают для большого класса пар G ⊂ K, связанных с S_∞. В обсуждаемом случае множество P (0, 0) находится в однозначном соответствии с множеством функций Белого, что, впрочем, не имеет объяснений.