ИСТИНА

Изучая работу Постникова [1] об описании трёхмерных сферических многообразий с помощью сферических многогранников и разбиений сферы [2], в трёхмерной сферической группе $C_{3}^{*} \times C_{2}^{*}$, наряду с правильными шестиугольными призмами [3], был обнаружен многогранник Дирихле в виде наклонённой призмы, как выяснилось, весьма похожий на многогранник Иванова $Q_1$ из работ [4,5]. Поэтому был справедлив вопрос: возможен ли сферический правильногранный многогранник, аналогичный многограннику Иванова $Q_1$, а также изоэдральное разбиение сферы на эти многогранники? В данной работе мы даём отрицательный ответ на этот вопрос: правильногранные многогранники с комбинаторным устройством многогранника Иванова $Q_1$ не возможны ни на сфере, ни в пространстве Лобачевского. Зато в группе $C_{3}^{*} \times C_{2}^{*}$ возможен четырёхмерной изоэдр с трёхмерными гранями -- многогранниками Иванова $Q_{1}$. Хотя задача ставилась о возможности существования изоэдров с гранями -- многогранниками Иванова $Q_1$ в группе $C_{3}^{*} \times C_{2}^{*}$, в действительности было подтверждено не только это: было получено полное комбинаторное и метрическое описание изоэдров (простых форм), порождённых этой группой. "Звёздочки" в обозначении указанной группы взяты, следуя в целом работе [1]. А также это обозначение напоминает нам, что эта группа задаёт пространство взаимных ориентаций двух фигур с симметриями $C_3$ и $C_2$ -- соответственно осям третьего и второго порядка) [3]. Звёздочки в обозначении группы также напоминают, что при записи с помощью кватернионов эти группы удваиваются. Отметим, что группа $C_{3}^{*} \times C_{2}^{*}$ -- циклическая, т.е. можно выбрать одну операцию, порождающую всю группу, т.е. такую, что все прочие операции будут её степенями. По-другому эту группу можно обозначить как $12/5$, согласно действию винтовой оси симметрии порождающей операции -- сдвигом вдоль оси на $1 /12$ полного оборота и поворотом на $ 5 /12$. Легко видеть, что, повторив такой поворот пять раз, получим поворот, аналогичный исходному, но вокруг другой оси, скрещивающейся и ортогональной к первой. Таким образом, обе оси геометрически эквивалентно характеризуют элемент, порождающий группу. Если исходная точка сферы $S^3$ лежит на оси порождающей группу операции, то и все её образы окажутся на ней же, деля окружность большого круга на 12 равных частей. А граница фигуры, полученной пересечением 12-ти касательных трёхмерных гиперплоскостей -- 12 "слоёв" одинаковой толщины с двугранными углами в общих двумерных гранях, равными $\pi - 2 \pi /12 = 5 \pi /6 $, -- бесконечная 12-гранная "призма" (открытая простая форма). Если исходная точка лежит посередине между эквивалентными осями (удалена на $\pi / 4$ от каждой из них), то аналогичное пересечение трёхмерных гиперплоскостей (касательных к сфере в указанных точках) приводит к многограннику, огранённому двенадцатью правильными шестиугольными призмами, образующими два многогранных полнотория по шесть призм в каждом. Если же исходная точка орбиты лежит в произвольном другом месте, то получим многогранник с аналогичным комбинаторным устройством, только призмы будут не правильными, а наклонными, как в многограннике Иванова $Q_1$, в частности, они становятся строго такими при удалении от оси на угловое расстояние $\theta = 27.36^{\circ }$ ($ cos 2\theta = 1/ \sqrt{3}$, т.е. в случае, когда $\theta$ равно половине острого двугранного угла многогранника Иванова $Q_1$). Так выглядят все изоэдры (простые формы) в группе $C_{3}^{*} \times C_{2}^{*}$. В этом легко убедиться, записав в матричном виде порождающую операцию, размножающую точку орбиты в ортонормированном репере: $$ \begin{pmatrix} -sin \pi /3 & cos \pi /3 & 0 & 0 \\ -cos \pi /3 & -sin \pi /3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & sin \pi /3 & cos \pi /3 \\ 0 & 0 & -cos\pi /3 & sin \pi /3 \end{pmatrix} ^{m} \begin{pmatrix} sin \theta \\ 0 \\ 0 \\ cos \theta \end{pmatrix}, $$ где $m=0, 1, ..., 11$, а затем в приспособленном косоугольном репере, взяв в качестве координатных векторов радиус-векторы полученной точечной системы при значениях $m=0, 2, 3, 5$. Тогда и матрица преобразования, и координаты точек орбиты примут целочисленный вид: $$ \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 0 & 0\\ -1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} ^{m} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} $$ Особенности группы таковы, что все точки, соответствующие чётным $m$ лежат в вершинах правильного шестиугольника (то же для нечётных). Поэтому легко видеть, что в общем случае пересечение касательных гиперплоскостей приведёт к граням с комбинаторным устройством шестиугольных призм. Также легко установить координаты всех 36-ти вершин четырёхмерного многогранника, которые тоже можно записать в целочисленном виде. Матрица Грама координатных векторов, позволяющая вычислить двугранные углы между соседними гипергранями имеет вид: $$ \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & -\sqrt{3} cos 2 \theta \\ 1 & 2 & \sqrt{3} cos 2 \theta & 0 \\ 0 & \sqrt{3} cos 2 \theta & 2 & 1 \\ - \sqrt{3} cos 2 \theta & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} $$ Непосредственные расчёты длин рёбер и углов в двумерных гранях позволяют убедиться в справедливости классификации четырёхмерных простых форм в группе $C_{3}^{*} \times C_{2}^{*}$, для чего необходимо использовать такую матрицу, обратную к предыдущей: $$ \frac{2}{3 sin^{2} 2 \theta} \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 & \sqrt{3} cos 2 \theta \\ -1 & 2 & - \sqrt{3} cos 2 \theta & 0 \\ 0 & - \sqrt{3} cos 2 \theta & 2 & -1 \\ \sqrt{3} cos 2 \theta & 0 & -1 & 2 \end{pmatrix} $$ Достаточно простые логические соображения и несколько громоздкие выкладки показывают, что многогранники Иванова $Q_1$ возможны только в пространстве Евклида (и ограняют интересный изоэдр в $E^4$), но не существуют в пространствах ненулевой постоянной кривизны. \smallskip \centerline {\bf Список литературы} 1.~Постников~М.~М. Трехмерные сферические формы~// в сб. "Дискретная геометрия и топология" к 100-летию со дня рождения Б.~Н.~Делоне, Тр. МИАН СССР.~--- М.: Наука, 1991.~--- Т.~196, С.~114--146. 2.~Долбилин~Н.~П. О правильных разбиениях Дирихле сферы.~--- Москва, 1972. 3.~Кучериненко~Я.~В.,~Макаров~В.~С. Геометрия бикристаллов и трёхмерные сферические многообразия~// Материалы XII~Международного семинара "Дискретная математика~и её приложения", имени академика О.~Б.~Лупанова (20--25~июня~2016~г.).~--- М.: Изд-во механико-математического факультета МГУ, 2016.~--- С.~360--362. 4.~Окладникова~Е.~С.,~Тимофеенко~А.~В. К теореме о типах выпуклых многогранников с паркетными гранями~// там же,~--- С. ~362--365. 5.~Иванов~Б.~А. Многогранники с гранями, сложенными из правильных многоугольников~// Украинский геометрический сборник.~--- 1971.~--- Т.~10.~--- С.~20–34.