ИСТИНА

Аннотация: Пусть χ(x) — нетривиальный мультипликативный характер по простому модулю p, a A,B — произвольные подмножества Z/pZ такие, что |A+A|≤K|A|, где K≥1 — некоторая константа и |A|,|B|>p4/9+ε, ε>0 — любое. М.-Ч. Чанг получила нетривиальную оценку для суммы ∣∣∣∑a∈A,b∈Bχ(a+b)≪K,ε|A||B|⋅p−τ(K,ε),(1) где τ(K,ε)>0. Недавно Б. Хансон рассмотрел аналог суммы (1) для трех множеств A,B,C безо всяких ограничений на сумму множеств с собой, а именно, он доказал, что если |A|,|B|,|C|>δp√, где δ>0, то ∣∣∣∑a∈A,b∈B,c∈Cχ(a+b+c)∣∣∣=oδ(|A||B||C|).(2) Используя лемму о почти-периодичности Крута–Сисаска, а также новые результаты о суммах произведений, мы улучшаем обе теоремы (1), (2).