ИСТИНА

Фуллерены (Нобелевская премия 1996 по химии) представляют собой молекулы углерода, математической моделью которых являются простые выпуклые трёхмерные многогранники ( 3-многогранники), все грани которых являются пятиугольниками или шестиугольниками (см. [1]). Известно, что каждый фуллерен имеет p_5=12 пятиугольников. Число p_6 шестиугольников может быть любым, кроме 1. Число комбинаторных типов (изомеров) фуллеренов растёт как p_6^9. Существует уже около 46 миллионов изомеров фуллерена с 75 шестиугольниками. Таким образом, актуальной является задача комбинаторной классификации фуллеренов и исследования структур на их множестве. Доклад основан на совместных работах с В.М. Бухштабером. Выделим следующие направления исследования и основные результаты. Построение фуллернов. [3] Операцией роста называется операция на комбинаторных выпуклых простых 3-многогранниках, которая заменяет один фрагмент, ограниченный простым рёберным циклом на другой фрагмент с большим числом граней. Известно, что не существует конечного набора операций роста, переводящих фуллерены в фуллерены и достаточного для получения любого фуллерена из додекаэдра. Обозначим через F класс комбинаторных простых выпуклых 3-многогранников, включающий все фуллерены, а также фуллерены с особенностью -- четырёхугольной гранью и фуллерены с особенностью -- семиугольной гранью, смежной с пятиугольной, которые либо содержат ребро-пересечение двух пятиугольников, пересекающее также семиугольник и шестиугольник, либо из любых двух смежных пятиугольников ровно один смежен с семиугольником. Назовём (1,s_1,s_2)-усечением срезку ребра, пересекающего по вершинам s_1- и s_2-угольники, и (2,k;s_1,s_2)-усечением срезку одной плоскостью двух соседних рёбер k-угольной грани, пересекающих s_1- и s_2-угольники по вершинам, отличным от общей. Теорема. Каждый многогранник из F получается из додекаэдра при помощи последовательности (1;4,5)-, (1;5,5)-, (2,6;4,5)-, (2,6;5,5)-, (2,6;5,6)-, (2,7;5,5)-, и (2,7;5,6)- усечений, оставаясь в классе F}. Эти операции соответствуют 9 операциям роста. Фрагменты на фуллеренах. [2] k-поясом простого 3-многогранника называется циклическая последовательность гиперграней, в которой общее пересечение пусто и, более того, пересекаются только последовательные гиперграни. Теорема. Для каждого k>=5 существует конечный набор фрагментов Q_k, ограниченных простыми рёберными циклами длины 2k и содержащих по 6 пятиугольников, такие что для серий фуллеренов S_k, поверхность которых получается заклеиванием цепочки из r>=0 k-поясов из шестиугольников двумя фрагментами из Q_k, выполнено следующее: 1) фуллерен принадлежит S_k тогда и только тогда, когда он содержит фрагмент из Q_k; 2) каждый фуллерен принадлежит хотя бы одному семейству S_k. Торическая топология фуллеренов. В торической топологии каждому комбинаторному простому n-многограннику с m гипергранями сопоставляется (m+n)-мерное момент-угол многообразие Z_P с действием m-мерного тора T^m. Из результатов работы [3] следует, что фуллерены не имеют 3- и 4- поясов. Для таких 3-многогранников P в [4] доказано, что P комбинаторно эквивалентен простому 3-многограннику Q тогда и только тогда, когда градуированные кольца когомологий H*(Z_P) и H*(Z_Q) изоморфны. Это открывает новые возможности для изучения комбинаторики фуллеренов методами торической топологии. Работа выполнена при частичной финансовой поддержке гранта победителям конкурса <<Молодая математика России>> и гранта РФФИ 14-01-00537-а. Литература 1. Деза М., Дютур Сикирич М., Штогрин М.И. Фуллерены и диск-фуллерены. УМН. 2013. Т.68. №4. C.69-128. 2. Ероховец Н.Ю. k-пояса и простые рёберные циклы простых многогранников с не более, чем шестиугольными гранями. Дальневосточный математический журнал. 2015. Т.15. №2. C. 197-213. 3. Buchstaber V.M., Erokhovets N. Yu. Construction of fullerenes. ArXiv 1510.02948v1, 2015. 4. Fan F., Ma J., Wang X. B-Rigidity of flag 2-spheres without 4-belt. ArXiv:1511.03624.