ИСТИНА

Целью данной работы является вычисление норм операторов вложения пространства Соболева $\mathcal H:= \mathring{W}^n_2[-1;1]$ в пространство $\mathring{W}^k_\infty[-1;1]$. В качестве вспомогательного инструмента в пространстве $\mathcal H$ рассматриваются функционалы $f\mapsto f^{(k)}(x)$ ($0\leqslant k\leqslant n-1$). Определим величины $A_{n,k}(x)$ как нормы этих функционалов $$ A_{n,k}(x):=\sup_{\|f\|_{\mathcal H}=1}|f^{(k)}(x)|. $$ Норма оператора вложения $J:\mathring{W}^n_2[-1;1] \hookrightarrow \mathring{W}^k_\infty[-1;1]$ равна $$ \Lambda_{n,k}:=\sup_{x\in[-1;1]} A_{n,k}(x). $$ В работе [1] были получены формулы для констант $\Lambda^2_{n,0}$, $\Lambda^2_{n,1}$ и $\Lambda^2_{n,2}$, а также установлена связь между константами вложения и первообразными полиномов Лежандра. В работе [2] получены локальные свойства функций $A^2_{n,k}(x)$ и предъявлены формулы для $\Lambda^2_{n,4}$ и $\Lambda^2_{n,6}$. Некоторые вычисления уодбнее проводить для на отрезке $[0;1]$. Несложно установить формулы пересчета констант вложения, определенных для разных отрезков: $$ A^2_{n,k}(x)=A^2_{n,k,[-1;1]}(x)=2^{2n-2k-1}A^2_{n,k,[0;1]}(x), \quad\Lambda^2_{n,k}=\Lambda^2_{n,k,[-1;1]}=2^{2n-2k-1}\Lambda^2_{n,k,[0;1]}. $$ В соответствии с теоремой Рисса функционал $f\mapsto f^{(k)}(x)$ в пространстве $\mathring W^n_{2}[0;1]$ задается с помощью функции $g_{n,k}$: $f^{(k)}(a)=\int_0^1 f^{(n)}(x) g_{n,k}^{(n)}(x,a)\,dx,$ при этом $$ A_{n,k}(a)=\|g_{n,k}\|_{\mathring W^n_{2}[0;1]}.\eqno{(1)} $$ \textbf{Теорема~1.} {\it Функции $g_{n,k}$ определяются формулами: $$ g_{n,k}(x)=\left\{\begin{aligned} &\dfrac{(-1)^{n-k-1}}{(2n-k-1)!}(1-a)^{n-k}x^n h_{n,k}(1-x,1-a)\quad x\in [0;a]\\ &\dfrac{(-1)^{n-1}}{(2n-k-1)!}a^{n-k}(1-x)^{n} h_{n,k}(x,a), \quad x\in [a;1]. \end{aligned}\right., $$ где $h_{n,k}(x,a)=\sum_{l=0}^{n-1}(-1)^{n-1-l}C_{2n-1-k}^{n-1-l}x^{n-1-l}a^l\sum_{m=0}^{l}C_{n-1+m}^{m}x^{m}.$ } Однако при больших $n$ и $k$ из-за растущей сложности вычислений формулы (1) оказываются малополезными для практического применения. Далее мы применяем модификацию метода предложенного в [1]. Рассматриваются ортогональная в $L_2[-1;1]$ система полиномов Лежандра, определяемая формулой Родрига $P_n(x):=\dfrac{1}{2^n}\dfrac{1}{n!}\left((x^2-1)^n\right)^{(n)}.$ Первообразная порядка $m>0$ полинома $P_n$ определяется формулой $P_n^{(-m)}:=\dfrac{1}{2^n}\dfrac{1}{n!}\left((x^2-1)^n\right)^{(n-m)}.$ Последовательно доказываются следующие факты. \textbf{Лемма~1.} {\it Функции $A^2_{n,k}(x)$ удовлетворяют рекуррентному соотношению $$ A^2_{n,k}(x)=A^2_{n-2,k-2}(x)-\bigl(P_{n-2}^{(k-n)}(x)\bigr)^2\left(n-\frac32\right)-\bigl( P_{n-1}^{(k-n)}(x)\bigr)^2\left(n-\frac12\right). $$ } \textbf{Лемма~2.} {\it Для величин $A^2_{n,k}(x)$ справедливо соотношение $$ \dfrac{dA^2_{n,k} (x)}{dx}=-P_{n-1}^{(k-n+1)}(x)\cdot P_{n}^{(k-n+1)}(x). $$ } \textbf{Теорема~2.} {\it Точка $x=0$ является точкой глобального максимума функции $A^2_{n,k}(x)$ на отрезке $[-1;1]$. } С помощью лемм~1, 2 и теоремы 2 доказывается следующий основной результат. \textbf{Теорема~3.} {\it Точные значения констант вложения на отрезке $[-1;1]$ при $k=2l$, $l=0,1,\ldots $ имеют вид $$ \Lambda^2_{n,k}:=A^2_{n,k}(0)=\dfrac{((k-1)!!)^2}{2^{2n-k-1}((n-(k/2)-1)!)^2(2n-2k-1)}. $$ }