ИСТИНА

Пусть (X, k · k) — банахово пространство, A — подмножество X. Обозначим ρ(x, A) = inf {kx−ak : a ∈ A} — расстояние от элемента x ∈ X до A, PA(x) = {y : kx−yk = ρ(x, A)} — метрическая проекция точки x на множество A. Множество A называется чебышевским, если для каждого x ∈ X проекция PA(x) состоит ровно из одного элемента. Открытый шар пространства X радиуса r с центром в точке x обозначим B(x; r). Множество A называется локально чебышевским, если для каждой точки x ∈ A существуют r(x) > 0 и чебышевское множество Fx ⊂ X такое, что A ∩ B(x; r(x)) ⊂ Fx ⊂ A. Теорема. Пусть A — компактное связное локально чебышевское множество в конечномерном нормированном пространстве X. Тогда A — чебышевское множество. Теорема не обобщается на случай произвольных бесконечномерных банаховых пространств. Пример связного локально чебышевского, но не чебышевского множества, основанный на примере Ч. Данхэма несвязного чебышевского множества в пространстве C[0; 1], был построен А. Флеровым. В докладе предполагается обсудить различные варианты определения локально чебышевского множества, а также доказательство теоремы.