ИСТИНА

В последние годы возрос интерес к описанию пространственной эволюции популяции частиц (или генов, видов, особей и т.п.) с помощью вероятностных моделей, сочетающих перемещение частиц в пространстве, их деление на дочерние частицы и гибель. Если пространство представляет собой $R^d$, где размерность $d$ -- натуральное число, то часто предполагается, что перемещение частиц задается броуновским движением. Если же пространство дискретно, то частицы совершают случайное блуждание, например, по целочисленной решетке $Z^d$. Как правило, деление и гибель частиц определяются ветвящимся процессом Гальтона-Ватсона. Остается конкретизировать, как совмещаются механизмы перемещения частиц и их ветвления. Классический путь состоит в том, что в каждый момент времени существующая частица заменяется на случайное число потомков (их число может быть нулевым), расположенных в пространстве случайно в соответствии с заданным механизмом перемещения частиц. Альтернативный способ совмещения механизмов движения и ветвления частиц будет рассмотрен нами подробнее. Предполагается, что в пространстве существуют выделенные точки, в которых находятся катализаторы. Если частица попадает в такую точку, то она может произвести там случайное число потомков. Вне катализаторов частицы только движутся до очередного попадания в катализатор -- центр регенерации частиц. Описываемые процессы называются каталитическими. Стоит отметить ветвящееся броуновское движение с одним катализатором, ветвящееся случайное блуждание с одним катализатором, ветвящееся случайное блуждание с любым конечным числом катализаторов, ветвящееся случайное блуждание с бесконечным числом периодически расположенных катализаторов. В данной работе нас интересует каталитическое ветвящееся случайное блуждание (КВСБ) с произвольным конечным числом катализаторов, в котором частицы перемещаются по целочисленной решетке $Z^d$ любой размерности $d$. В статье Ph.Carmona, Y.Hu (2014) при $d=1$ было установлено, что максимум КВСБ, т.е. положение на целочисленной прямой самой правой частицы в КВСБ, распространяется почти наверное асимптотически линейно по времени, когда время стремится к бесконечности. В постановке задачи предполагалось, что хвост распределения скачка случайного блуждания легкий, т.е. для него выполнено условие Крамера. В E.Vl.Bulinskaya (2018) аналоги этого результата были установлены уже для фронта распространения популяции КВСБ по целочисленной решетке любой размерности. В E.Vl.Bulinskaya (2021) при изучении такого рода обобщенной задачи предполагалось, что хвосты распределения скачка тяжелые, а именно, правильно меняются. Теперь мы рассмотрим промежуточную ситуацию, когда скачок блуждания имеет семи-экспоненциальное распределение, и в этом случае изучим распространение фронта в КВСБ по $Z^d$. Аналогичная задача для классического ветвящегося случайного блуждания была решена в N.Gantert (2000), отметим также новую работу P.Dyszewski, N.Gantert, T.Hofelsauer (2020). Основные результаты, рассматриваемые далее, установлены в нашей недавней статье E.Vl.Bulinskaya (2020). При этом в докладе мы обратимся и к совсем новым теоремам.