ИСТИНА

Рассматривается стационарное уравнение Фоккера--Планка--Колмогорова: $$ \Delta\varrho-{\rm div}(b\varrho)=0. $$ Вероятностным решением назовем неотрицательную функцию $\varrho\in C^{\infty}\left(\mathbb{R}^d\right)$ с единичным интегралом по всему пространству. В одномерном случае стационарное уравнение Фоккера--Планка--Колмогорова имеет не более одного вероятностного решения. В размерности два и выше известны примеры уравнений, имеющих бесконечно много линейно независимых вероятностных решений (см. [1]). Причем во всех известных примерах неединственности симплекс вероятностных решений имеет бесконечную размерность. Остается открытым вопрос, может ли эта размерность быть конечным числом, большим единицы. В работе [2] проблема неединственности вероятностного решения уравнения Фоккера--Планка--Колмогорова сведена к проблеме существования отличного от константы решения $v$ уравнения $$ {\rm div}{(\varrho\nabla v-av)}=0, $$ где $a=b\rho-\nabla\rho$. В настоящем докладе исследуется случай $d=2$. С помощью представления бездивергентного поля $a$ в виде $\left(\partial_{x_2}H,-\partial_{x_1}H\right)$, где $H$ --- некоторая гладкая функция, получены достаточные условия единственности и неединственности вероятностного решения. Из полученных результатов следует, что в размерности $d=2$ при весьма общих условиях из существования двух различных вероятностных решений следует существование бесконечного набора линейно независимых решений. Подробное изложение полученных результатов приводится в [3]. Данная работа поддержана Московским Центром фундаментальной и прикладной математики. \centerline{Литература} [1] Bogachev V.I., Krylov N.V., R\"ockner M., Shaposhnikov S.V. Fokker--Planck--Kolmogorov Equations, Amer. Math. Soc., Providence, Rhode Island, 2015. [2] Shaposhnikov S.V.// J.~Funct. Anal. 2008. V. 254, N~10. P. 2690--2705. [3] Bogachev V. I., Krasovitskii T. I., Shaposhnikov S. V.// Doklady Mathematics. 2018. V. 98, N 2. P. 475--479.