ИСТИНА

Одной из основных математических проблем, связанных с моделями кинетической теории, является проблема замыкания моментной системы, восходящая к работам Дж.К. Максвелла. Идея нашего подхода к решению этой проблемы состоит в том, чтобы в основание выбора замыкания положить групповые свойства дифференциальных уравнений. Речь идет о том, чтобы, определив группу симметрий кинетического уравнения, перенести ее действие на моментные величины, найти инварианты этой группы в терминах моментных величин, и «урезание» и замыкание моментной системы, приводящее к уравнениям сплошной среды, осуществлять с помощью этих инвариантных соотношений. Реализуемость этой схемы установлена на простейшей ситуации одномерного кинетического уравнения, фактически совпадающего с уравнением Лиувилля f_t + cf_x + (Ff)_c = 0 (1) (t – время, x – пространственная координата, c – скорость, F = F(t,x,c) – внешнее силовое поле, неизвестная функция f(t,x,c) – фазовая плотность распределения частиц). Оказалось, что задачу группового анализа уравнения (1) необходимо сопроводить дополнительными условиями, налагаемыми на группу преобразований. Это условия • инвариантности при этих преобразованиях соотношений dx = c dt, dc = F dt, (2) что выражает сохранение отношения между физическими величинами (t,x,c,F); • инвариантности семейства прямых dx = dt = 0, (3) необходимое, чтобы сохранялся физический смысл моментных величин; • инвариантности при заменах переменных величины (1 + cθ_x + F θ_c)f(t,x,c)dxdc, (3) на любой поверхности t = θ(x,c), что выражает независимость количества частиц в некотором фазовом объеме от выбора системы координат. Установлено, что группа точечных преобразований пространства переменных (t,x,c,f), оставляющих инвариантными соотношения (2), (3) и величину (4), совпадает с группой диффеоморфизмов пространства переменных (t, x) и порожденных ими преобразований остальных переменных; группа эквивалентности уравнения (1) совпадает с этой группой. Осуществлена групповая классификация уравнений (1) в указанном классе преобразований, максимальная группа симметрий оказалась восьмимерной (для F = 0 и эквивалентных ей) и совпадающей с проективной группой в R^2. Для полученных групп симметрий оказалось возможным явно описать действие этих групп на моментные величины, и найти инварианты. В случае F = 0 найденный дифференциальный инвариант привел к системе ρ_t + (ρu)_x = 0, u_t + uu_x = 0, которая хорошо известна как уравнения «гидродинамики без давления». Точные формулировки полученных результатов будут представлены в докладе, их можно найти в работах авторов [1]-[2]. Список литературы [1] Платонова К. С., Боровских А. В. Групповой анализ одномерного уравнения Больцмана. Условия сохранения физического смысла моментных величин // Теоретическая и математическая физика. 2018. Т. 195, № 3. С. 452-483. [2] Боровских А. В., Платонова К. С. Групповой анализ одномерного уравнения Больцмана. IV. Полная групповая классификация в общем случае, 2019 , ТМФ, Т. 201, № 2, C. 232–265.