ИСТИНА

Мы рассматриваем элементарную эквивалентность производных алгебраических структур и ее связь с эквивалентностью исходных структур. Первым рассматриваемым примером является элементарная эквивалентность производных структур свободных алгебр многообразий. В то время как все бесконечно порожденные свободные алгебры многообразий неразличимы в языке логики первого порядка (элементарно эквивалентны), то переход от самих свободных алгебр к их производным структурам (таким как решетки подалгебр, конгруэнций, полугруппы эндоморфизмов, группы автоморфизмов и т.д.) позволяют довольно тонко (чаще всего, максимально тонко, т.е. на языке логики второго порядка) класифицирорвать мощности свободных порождающих свободных алгебр. В докладе приведен ряд конкретных результатов такого рода и ряд открытых конкретных проблем. Вторым важным примером является элементарная эквивалентность групп автоморфизмов векторных пространств над телами и свободных модулей над кольцами. В случае конечной размерности пространств (модулей) элементарная эквивалентность таких групп равносильна элементарной же эквивалентности тел и совпадению размерностей (либо элементарной эквивалентности колец эндоморфизмов данных модулей), в случае пространств (модулей) бесконечной размерности появляется эквивалентность тел (или колец) в более сильной логике — ограниченной логике второго порядка. Известна теорема Бэра–Капланского для абелевых групп, которая утверждает, что изоморфность колец эндоморфизмов периодических абелевых групп равносильна изоморфности самих групп. Аналогичные теоремы для изоморфности групп автоморфизмов абелевых p-групп (p > 2) доказаны Лептиным (p > 5) и Либертом (p > 3). В докладе будет описан критерий элементарной эквивалентности колец эндоморфизмов абелевых p-групп и групп автоморфизмов абелевых p-групп при p > 2. Именно, оказывается, что кольца эндоморфизмы (группы автоморфизмов) групп элементарно эквивалентны тогда и только тогда, когда сами группы эквивалентны в логике второго порядка либо, в некоторых случаях, — в ограниченном языке логики второго порядка.