ИСТИНА

ТРЕХМЕРНАЯ КАСКАДНАЯ МОДЕЛЬ ТУРБУЛЕНТНОСТИ С ВРАЩЕНИЕМ И ПОДОГРЕВОМ М.Ю.Решетняк Институт физики Земли им. О.Ю.Шмидта РАН, Москва, m.reshetnyak@gmail.com Институт земного магнетизма и распространения радиоволн им. Н.В.Пушкова РАН , Москва Каскадные модели (КМ) являются удобным инструментом для изучения спектральных свойств турбулентности [1, 2]. КМ получаются из исходных уравнений конвекции, записанных в волновом пространстве в приближении изотропии и однородности физических полей. В КМ присутствует источник энергии, точная форма которого зависит от рассматриваемой задачи, диссипативный член, -k2Vk, где k – волновое число, Vk – скорость на масштабе 1/k, а также нелинейный член, обеспечивающий зацепление гармоник в волновом пространстве. Такая запись подразумевает, что квадрат Vk соответствует кинетической энергии на волновом числе k. Задача сводится к решению системы однородных дифференциальных уравнений первого порядка по времени. Успех КМ связан с введением двух важных упрощений: взаимодействие полей в волновом пространстве описывается небольшим числом гармоник (как правило ближайших соседей), и вместо равномерной сетки в волновом пространстве используется сетка вида kn =Q kn-1, где Q – константа в диапазоне 1.5-2, а максимальное значение яруса n порядка 20-30. Именно эти два упрощения позволяют моделировать режимы конвекции при больших числах Рейнольдца Re, недоступных для 3D DNS. Очевидно, что сложности в КМ начинаются при появлении анизотропии, когда вместо одной переменной Vk необходимо вводить уже вектор, впрочем, также как и для самого волнового числа. В работе рассмотрена модификация псевдо-спектрального 3D кода тепловой конвекции в приближении Буссинеска с вращением с учетом вышеизложенных упрощений в КМ: простой формы нелинейного члена и растянутой сетки. Поскольку форма нелинейного члена не влияет на порог генерации конвекции, то можно утверждать что получаемая КМ, дает правильный порог генерации. Ни одна современная КМ этого делать ранее не умела. Обратим внимание, что в случае с вращением, критическое число Рэлея Racr зависит от угловой скорости вращения как ~Ω1/3 [3] и в приложениях планетарной конвекции, где период суточного вращения меньше характерного времени тепловой конвекции, Racr достигает больших значений. Этот эффект, также учтен в предложенной КМ. При увеличении числа Рэлея, существенным становится форма нелинейного члена. В работе использованы простые модификации известных одномерных КМ, позволяющие удовлетворить закону сохранения кинетической энергии. Расчеты проведены для двух случаев: без вращения с числом Рэлея Ra=3 1010 и с вращением, для Ra=6 109 и числа Экмана E=10-7. Несмотря на то, что оба режима дают близкие к колмогоровскому спектры, наблюдаются и принципиальные отличия, связанные с переносом кинетической энергии в волновом пространcтве [4, 5]. Если для случая без вращения большие масштабы являтся донорами, отдавая кинетическую энергию малым, то для случая с вращением картина противоположная: существует обратный каскад энергии от малых масштабов к большим. Предложенный метод построения КМ, конечно же, трубует всестороннего изучения и улучшения форм нелинейных членов в уравнениях. Но одно то, что на каждом шаге существует возможность сравнить результат с исходными уравнениями конвекции и проверить правильность сделанных предположений, используя аналитику, как это было с оценками порогов генерации, или с результатами 3D DNS для уточнения строения нелинейного члена, повзоляет надеяться на плодотворность этого метода. Ни что не мешает использовать данные идеи и для других нелинейных задач математической физики, в которых наблюдаются протяженные спектры. Такой процесс подгонки КМ, позволит не только перейти к моделированию турбулентности для больших Re, но и лучше понять механизм триадного взаимодействия. Работа выполнена при поддержке Российского научного фонда (проект N◦19-47-04110). ЛИТЕРАТУРА. 1. Е.Б. Гледзер, Ф.В. Должанский, А.М. Обухов. Системы гидродинамического типа и их применение. 1981. 2. П.Г. Фрик. Турбулентность: подходы и модели. Ижевск: РХД, 2010. 3. S. Chandrasekhar. Hydrodynamic and hydromagnetic stability. Dover Publications. Inc., NY, 1961. 4. M. Yu. Reshetnyak, P. Hejda. Direct and inverse cascades in the geodynamo. Nonlin. Proc. Geophys.. 2008. 15. 873-880. 5. P. Hejda, M.Yu. Reshetnyak. Effects of anisotropy in the geostrophic turbulence. Phys. Earth Planet. Int.. 2009. 177. 569–576.