ИСТИНА

Рассматривается задача Коши для одномерной системы нелинейных уравнений мелкой воды с переменным дном D(x) в протяженном бассейне, ограниченном вертикальными (условие Неймана) или пологими (условие на подвижную границу) стенками. Цель работы – построить формальное асимптотическое решение задачи. Согласно работе (Доброхотов, Миненков, Назайкинский, 2022) такие асимптотики получаются из решений волнового уравнения с такой же функцией дна (волновая скорость c^2(x) = g D(x)) в результате простой в реализации замены, переводящей исходную нелинейную задачу с пологими берегами в задачу с фиксированной границей. Используя этот результат, мы строим частные асимптотики в виде бегущей волны: для случая плоского наклонного дна и стенки удобно использовать решения в виде бегущей волны из (Доброхотов, Тироцци, 2010) и метод отражений, для вогнутого параболического дна – гармонические собственные функции, записанные через полиномы Лежандра. В обоих случаях получаются долгоживущие почти периодические по времени асимптотики линеаризованной задачи (волнового уравнения) в виде бегущей волны и им соответствуют асимптотики исходной нелинейной системы. На построенных решениях можно удобно проиллюстрировать связь изменения профиля волны (знаменитая метаморфоза "шапочка в N-волну") с приращением индекса Маслова при отражении от границ. Именно, чтобы решение вернулось к исходной форме профиля, нужно четыре отражения от берега (отражения от вертикальной стенки при этом не "приближают" этот желаемый момент, т.к. не меняют индекс Маслова). В случае дна общего вида нелинейные асимптотики можно построить "на физическом уровне строгости" – применив замену к асимптотическому решению линейной задачи в виде канонического оператора Маслова. В этом случае возникает дополнительная сложность, связанная с необходимостью согласования двух малых параметров: длины волны (по которой строится линейная асимптотика) и амплитуды (по которой строятся возмущения для нелинейной задачи). Допустимые соотношения между этими параметрами изучены на конкретных примерах. Работа выполнена при поддержке Российского научного фонда, грант номер 21- 1100341.