ИСТИНА

В докладе приведены доказанные автором обобщения китайской теоремы об остатках. Теорема 1. (Обобщённая китайская теорема об остатках в кольце целых чисел Z). Пусть 2≤n ϵ N и a_1,…,a_n,m_1,…,m_(n ) ϵ Z. Тогда: 1) Система сравнений: 〖x≡a〗_1 (mod m_1 ),…,〖x≡a〗_n (mod m_n ) имеет хотя бы одно целочисленное решение x, если и только если выполняется следующее условие: a_i 〖≡a〗_j (mod НОД〖(m〗_i,m_j)) для всех i,j∈{1,…,n} таких, что i≠j . Иными словами, имеет место равносильность: (〖a_1+m〗_1 Z)∩…∩(〖a_n+m〗_n Z)≠∅ ⇔(∀i,j∈{1,…,n})[i≠j⇒a_i 〖≡a〗_j (mod НОД〖(m〗_i,m_j))]; 2) Если x_0 есть какое-либо «частное» решение системы сравнений , то есть, если x_0∈(〖a_1+m〗_1 Z)∩…∩(〖a_n+m〗_n Z), то множество всех целочисленных решений x системы сравнений , является классом вычетов x_0+НОК(m_1,…,m_(n ) )∙Z этого «частного» решения x_0 системы сравнений по модулю НОК(m_1,…,m_(n ) ), то есть (〖a_1+m〗_1 Z)∩…∩(〖a_n+m〗_n Z)=x_0+НОК(m_1,…,m_(n ) )∙Z. В доказательстве достаточности условия для существования решения x системы сравнений существенным образом используется дистрибутивность НОК относительно НОД, то есть тождество (∀a,b,c∈Z)[НОД(НОК(a,b),c)=НОК(НОД(a,c),НОД(b,c))] . Теорема 2. Пусть решётка всех идеалов ассоциативно-коммутативного кольца с единицей R дистрибутивна. И пусть 2≤n ϵ N и a_1,…,a_n — элементы кольца R, а I_1,…,I_n – его идеалы. Тогда: 1) Система сравнений: 〖x≡a〗_1 (mod I_1 ),…,〖x≡a〗_n (mod I_n ) имеет решение x, если и только если выполняется условие: a_i 〖≡a〗_j (mod 〖(I〗_i+I_j)) для всех i,j∈{1,…,n} таких, что i≠j . Иными словами, имеет место равносильность: (〖a_1+I〗_1 )∩…∩(〖a_n+I〗_n )≠∅ ⇔ (∀i,j∈{1,…,n})[i≠j ⇒ a_i 〖≡a〗_j (mod 〖(I〗_i+I_j))]; 2) Если x_0 есть какое-либо «частное» решение системы сравнений , то есть, если x_0∈(〖a_1+I〗_1 )∩…∩(〖a_n+I〗_n ), то множество всех решений x системы сравнений есть класс вычетов x_0+(I_1∩…∩I_n ) этого «частного» решения x_0 системы сравнений по модулю идеала I_1∩…∩I_n, то есть 〖(〖a_1+I〗_1 )∩…∩(〖a_n+I〗_n ) = x〗_0+(I_1∩…∩I_n ). Теорема 3. Пусть в ассоциативно-коммутативном кольце с единицей R выполнено условие: для любых элементов a_1,a_2,a_3 и любых идеалов I_1,I_2,I_3 из того, что a_1 〖≡a〗_2 (mod 〖(I〗_1+I_2)), a_2 〖≡a〗_3 (mod 〖(I〗_2+I_3)), a_1 〖≡a〗_3 (mod 〖(I〗_1+I_3)) следует, что существует решение x системы сравнений 〖x≡a〗_1 (mod I_1 ),〖 x≡a〗_2 (mod I_2 ),〖x≡a〗_3 (mod I_3 ), то есть что (〖a_1+I〗_1 )∩(〖a_2+I〗_2 )∩(〖a_3+I〗_3 )≠∅. Тогда решётка всех идеалов ассоциативно-коммутативного кольца с единицей R дистрибутивна. Эта теорема есть усиленное обращение Теоремы 2. В обычной китайской теореме об остатках, например, для кольца целых чисел Z , предполагается, что модули m_1,…,m_(n ) в системе сравнений попарно взаимно простоты, из чего сразу следует выполнимость условия в Теореме 1, являющейся частным случаем теоремы 2 (идеалы в Z — это в точности все множества вида mZ, где mϵZ).