ИСТИНА

Пусть X — аффинное алгебраическое многообразие над полем k. Алгебраические подгруппы в группе регулярных автоморфизмов X, изоморфные аддитивной группе поля k соответствуют локально нильпотентным дифференцированиям алгебры регулярных функций k[X]. Напомним, что локально нильпотентным дифференцированием (ЛНД) данной алгебры A называется такой линейный оператор δ:A→A, удовлетворяющий тождеству Лейбница δ(ab)=aδ(b)+δ(a)b, что для любого a∈A найдётся натуральное n с условием δ^n(a)=0. В 1996 году Леонид Макар-Лиманов предложил рассмотреть пересечение ядер всех ЛНД данной алгебры. Впоследствии это подкольцо получило название инвариант Макар-Лиманова и стало обозначаться ML(A). Слово «инвариант» отражает тот факт, что данное подкольцо инвариантно относительно регулярных автоморфизмов алгебры. В курсе лекций будет рассказано некоторое количество техник полезных для вычисления инварианта Макар-Лиманова алгебр (многообразий). Также мы рассмотрим два применения инварианта. Первое — применение для доказательства неизоморфности многообразий. Если две алгебры имеют неизоморфные инварианты Макар-Лиманова, то они не изоморфны. Именно этому применению инвариант обязан своей известностью. Классический пример — это доказательство неизоморфности кубики Кораса-Расселла, которая задаётся в четырёхмерном пространстве уравнением x+x^2y+z^2+t^3=0, и трёхмерного аффинного пространства. Второе — применение для описания группы автоморфизмов данного многообразия. Оказывается, что знание того, что некоторое подкольцо инвариантно, бывает полезно для изучения всей группы автоморфизмов. Также в лекциях мы рассмотрим аналоги инварианта Макар-Лиманова: инвариант Дерксона и некоторые модификации этих двух инвариантов.