ИСТИНА

Ключевые слова: динамические модели, агентные модели, дифференциальные уравнения, модели эпидемий, популяционная динамика, фотосинтез. История развития математического моделирования процессов в живых системах прошла несколько этапов. К середине 20 века были предложены отдельные феноменологические модели процессов в живых системах. Во второй половине 20 века круг моделируемых процессов существенно расширился, появились модели ферментативных реакций, в том числе модели колебаний в гликолизе, модели метаболической и генной регуляции, модели биологических ритмов, или биологических часов. Были предложены и получили развитие модели, представлявшие собой системы нелинейных дифференциальных уравнений c двумя или тремя переменными, допускающие аналитическое исследование методами качественной теории дифференциальных уравнений. Представление о характерных временах процессов в клетке и наличии узкого места, теория лимитирующего фактора давали возможность упростить полную систему уравнений и при этом выявить главные факторы, которые определяют динамику биологических процессов, протекающих в системе. Теорема А.Н.Тихонова (1952), в которой сформулированы условия, допускающие упрощение систем дифференциальных уравнений с малыми параметрами при производных, дала строгое математическое обоснование метода квазистационарных концентраций для сложных систем, в которых процессы протекают с сильно отличающимися характерными временами. Именно таким путем было по существу получено и классическое уравнение ферментативной кинетики Михаэлиса-Ментен. «Классические» модели математической биологии являются результатом системно-динамического подхода к моделированию. В изучаемой системе выделяются реально измеряемые переменные (концентрация веществ в клетке, численность видов в популяции или клеток в культуре) и связи между ними. При этом должна обеспечиваться достаточность выделенных характеристик для адекватного описания системы (гипотеза о замкнутости). Затем составляется система дифференциальных или дискретных уравнений, в которых количественно отражено, как меняются величины этих переменных во времени и пространстве. Аналитическое или численное решение такой системы уравнений при различных значениях внешних и внутренних параметров системы и различных начальных условиях позволяет давать прогноз динамического поведения системы, что соответствует решению прямой кинетической задачи. Обратная кинетическая задача состоит в таком «подборе» формы уравнений и значений параметров (констант скоростей), при которых поведение переменных системы в модели будет соответствовать реально наблюдаемой в эксперименте или в природе динамике. Возможности математического моделирования существенно расширились в конце 20 века в связи с появлением и бурным развитием компьютерной техники. Стало возможным разрабатывать детальные системно-динамические модели, содержащие сотни и тысячи «реальных» компонентов, решать системы огромного числа уравнений, моделировать процессы в системах, обладающих сложной геометрией. В начале 21 века при моделировании систем самой разной природы получили распространение так называемые «агентные» модели. В традиционном системно-динамическом подходе система исходно характеризуется некими обобщенными переменными (численность видов, концентрация веществ). В «агентном», «корпускулярном» методе моделирования предполагается выводить общие свойства сложных систем выводятся на основе свойств и механизмов взаимодействия составляющих эти системы «агентов» или «атомов» - неких простейших реальных объектов, составных элементов этой системы. «Агентное» и традиционное «системно-динамическое» описания взаимно дополняют друг друга. В большой мере сам способ описания во многом определяется целями моделирования. Так, для ответа на качественные вопросы о типе и условиях динамического поведения системы удобно составлять и изучать упрощенные «феноменологические» модели. А детальные «атомистические модели» необходимы для понимания, каким образом механизмы взаимодействия биомакромолекул в клетке или особей в популяции определяют динамические свойства сложных систем. Наиболее полное понимание достигается, когда оба описания «проникают» друг в друга. В докладе обсуждаются возможности и преимущества системно-динамического и агентного подхода для моделирования процессов в живых системах, приводятся примеры динамических и агентных моделей процессов в фотосинтетической мембране, модели распространения эпидемий (ковид 19), модели взаимодействий типа хищник-жертва. Литература Мюррей Дж. Математическая биология. Том 1. Введение. М.-Ижевск: ИКИ-РХД, 2009. 776 с. Мюррей Дж. Математическая биология. Том 2. Пространственные модели и их приложения в медицине. М.-Ижевск: ИКИ-РХД, 2011. 1104 с. Ризниченко Г.Ю. Лекции по математическим моделям в биологии. М.-Ижевск: Изд. РХД. 2011. 560 с. Ризниченко Г.Ю., Рубин А.Б. Математические методы в биологии и экологии. Биофизическая динамика продукционных процессов в 2 ч. М.: Изд. Юрайт, Третье переработанное издание 2018. Ч.1. 210 с. Ч. 2. 185 с. Рубин А.Б. Биофизика. Том 3. М.-Ижевск: ИКИ-РХД, 2017. 480 с.