ИСТИНА

Топологическая группа --- это группа с топологией, относительно которой умножение и операция взятия обратного элемента непрерывны. Топологические и алгебраические свойства топологической группы очень сильно влияют друг на друга. Например, всякая локально компактная группа, в которой некоторая окрестность единицы не содержит нетривиальных подгрупп, является группой Ли (т.е. несёт структуру гладкого многообразия). В докладе будут очерчены основные направления исследований в теории топологических групп: проблема топологизируемости групп, кардинальные инварианты и размерности топологических групп, свойства свободных топологических групп, группы преобразований, универсальные топологические группы, обобщения топологических групп, пополнения, подпространства топологических групп и их образы при ретракциях и других специальных отображениях, теория двойственности Понтрягина и теория топологических $G$-пространств. В качестве примера приложения теории к другим областям математики будет продемонстрировано неожиданное и изящное применение связанной с топологическими группами конструкции в рамсеевской комбинаторике. В заключение будут представлены некоторые полученные в последние годы результаты (в том числе ещё не опубликованные) и сформулированы нерешённые проблемы.