ИСТИНА

Понятия максимальности и (не)разложимости топологических пространств ввел Э. Хьюитт в 1943г. Они привлекали внимание многих ведущих топологов, в том числе и Евгения Георгиевича; его работы последних лет, посвященные открытым ультрафильтрам, тоже имеют самое непосредственное отношение к неразложимости. Топологическое пространство называется максимальным, если оно плотно в себе (т.е. не содержит изолированных точек) и его топологию нельзя усилить без потери этого свойства. Хорошо известно, что все максимальные пространства неразложимы (т.е. не раскладываются в объединение двух непересекающихся всюду плотных множеств), экстремально несвязны (замыкание любого открытого множества открыто) и даже совершенно несвязны (любые непересекающиеся множества отделимы, или, что равносильно, все плотные в себе подпространства открыты); кроме того, все нигде не плотные множества в таких пространствах замкнуты (и дискретны). Поскольку всякая недискретная топологическая группа плотна в себе, естественно возникает проблема изучения топологических групп с перечисленными выше свойствами. Однако несмотря на то, что топология любого плотного в себе пространства усиливается до максимальной (по лемме Цорна), максимальные и даже неразложимые топологические группы существуют не всегда. И.В. Протасов доказал, что из существования неразложимой отделимой топологической группы вытекает существование P-ультрафильтра (при этом несуществование P-ультрафильтров совместимо с системой аксиом ZFC теории множеств). Когда речь идет о топологических группах, не менее (а возможно, и более) естественно рассматривать максимальные групповые топологии, которые существуют всегда. В группах с максимальными групповыми топологиями обязаны быть открытыми не все плотные в себе подмножества, а лишь те, которые являются подгруппами (или удовлетворяют некоторым другим естественным условиям). Доклад будет посвящен группам с максимальными групповыми топологиями, а также связи свойств топологических групп со свойствами фильтров окрестностей единицы в этих группах. Кроме того, будут представлены и новые результаты о максимальных и неразложимых топологических группах (в классическом смысле).