ИСТИНА

Линейно-квадратичная зависимость скорости движения центра кривизны фронта от радиуса кривизны для неоднородных сред, установленная в [1], распространяется на случай сред анизотропных, где зависимость оказывается уже трёхчленной. Интерес к этой зависимости связан с тем, что она аналогична известному закону Хаббла, но порождена не движением источника и не расширением пространства, а обычной неоднородностью среды. Фронт волны как параметризованное (параметром является время $t$) семейство поверхностей задается в виде $t=\psi(x)$, $x\in \mathbb{R}^n$, где функция $\psi$ является решением {\em уравнения эйконала} $g^{ij}(x)\psi_i\psi_j=1$. Здесь $x=(x^1,\dots,x^n)$ -- контравариантный вектор координат точки, $g^{ij}(x)$ -- матричная функция, заданная в $\mathbb{R}^n$ (она рассматривается как реализация некоторого тензора), нижними индексами обозначаются частные производные, знак суммирования по повторяющимся верхнему и нижнему индексам опущен. Лучи (характеристики уравнения эйконала) описываются системой $$\dot x^i=g^{ij}(x)\tau_j,\qquad \dot \tau_j=-\frac 12 \partial_jg^{kl}\tau_k\tau_l,\eqno (1)$$ где $\tau_j$ -- компоненты ковариантного вектора. \textbf {Определение. \ } {\it Будем \ говорить, \ что \ гиперповерхность \ $\Gamma$ в\,п\,о\,л\,н\,е \,р\,е\,г\,у\,\-л\,я\,р\,\-н\,а в некоторой точке, если она является дважды непрерывно дифференцируемой, и удовлетворяет, помимо обычного условия регулярности (возможность задания регулярных локальных координат), условию конечности в этой точке всех нормальных кривизн.} \textbf {Теорема.} {\it Пусть $x\in\mathbb{R}^3$, $G(x)=(g^{ij}(x))$ -- произвольная дважды непрерывно дифференцируемая матричная функция, $\nabla G(x)$ -- её градиент, $D_lG(x)$ и $D^2_lG(x)$ -- её первая и вторая производные по направлению $l$ (то есть $D_l=(l,\nabla)$). Пусть $M$ -- некоторая фиксированная точка в $\mathbb{R}^3$, $\Gamma$ -- проходящая через эту точку вполне регулярная в окрестности этой точки поверхность (фронт), $\nu$ и $h$ -- нормальный и некоторый касательный к поверхности $\Gamma$ в точке $M$ единичные (в евклидовой метрике) векторы, $h^\perp=[\nu,h]$ -- касательный к $\Gamma$ вектор, ортогональный $h$. Пусть $\gamma_h$ и $\varepsilon_h$ -- нормальная кривизна и геодезическое кручение поверхности $\Gamma$ в точке $M$, отвечающие вектору $h$. Тогда скорость движения $\dot x_h^*$ соответствующего центра кривизны $x_h^*$ при сдвиге $\Gamma$ вдоль лучей (2) определяется формулой (употребление функции $G$ и её производных без аргумента означает их значения в точке $M$) $$\dot x^*_h=\left[\frac{G\nu}{(G\nu,\nu)^{1/2}}-\nu\frac{(Gh,h)(G\nu,\nu)-(G\nu,h)^2}{(G\nu,\nu)^{3/2}}\right]+$$ $$+\frac1{\gamma_h}\left[\frac {(\nabla G\nu,\nu)}{2 (G\nu,\nu)^{1/2}}-\nu\frac{2(D_hG\nu,h)(G\nu,\nu)-(D_hG\nu,\nu)(G\nu,h)}{(G\nu,\nu)^{3/2}}\right]-$$ $$-\frac {\nu }{\gamma^2_h}\left[\frac{(D_h^2 G\nu,\nu)}{2(G\nu,\nu)^{1/2}}-\frac{(D_hG\nu,\nu)^2}{4(G\nu,\nu)^{3/2}} -\varepsilon^2_h\frac{(Gh^\perp,h^{\perp})(G\nu,\nu)-(G\nu,h^\perp)^2}{(G\nu,\nu)^{3/2}}\right].$$}