ИСТИНА

Быстрое развитие технологических достижений в XX веке, оказали большое влияние на различные дисциплины, в том числе и медицину. Роботизированная хирургия - это огромный шаг вперед в мире медицинской науки. Нейрохирургия - одна из таких областей, где активно применяются роботизированные устройства. Например, одной из самых распространенных процедур является стереотаксическая биопсия — это хирургическая процедура, при которой нейрохирург вводит тонкую иглу в мозг для извлечения небольшого кусочка ткани для исследования под микроскопом. С точки зрения математического моделирования этот процесс представляет собой сложную систему, в которой надо учесть систему взаимодействия сил между иглой и тканью. С одной стороны, нужно учесть силы, которые требуются для перемещения иглы внутри ткани, с другой, на тело иглы воздействуют силы трения, силы распределённой нагрузки, а в силу несимметричности кончика иглы на него также воздействует сила, оказывающая давления со стороны ткани. К тому же надо смоделировать саму ткань мозга, понять какая математическая модель будет более приближена к настоящему материалу. Для описания изгиба медицинской иглы, которая вводится глубоко в мягкие ткани и подвержена действию внешних нагрузок, связанных с управлением движением иглы, предложена оригинальная математическая модель. В разработанной модели игла представляет собой полый цилиндрический упругий стержень, частично погруженный в вязкоупругий материал, имитирующий мягкую ткань. Часть стержня, которая погружена вглубь материала, скользит с трением по каналу, стенки которого сжимают иглу. К стержню приложены внешние сила и момент. Сила сжатия, действующая на боковую поверхность стержня со стороны окружающего вязкоупругого материала, изменяется вдоль оси погруженной части иглы, а также может изменяться во времени. Предполагается, что в продольном направлении стержень не деформируется, он движется вдоль своей оси как абсолютно твердое тело, а его деформация сводится только к изгибу. Обжатие стержня со стороны канала в вязкоупругом материале описывается с помощью модели вязкоупругого основания как динамическая система балка - основание с переменной во времени длиной зоны взаимодействия [1]. При такой постановке краевая задача оказывается несамосопряженной, и её решение представляется в форме разложения по биортогональной системе собственных функций взаимно сопряженной пары дифференциальных операторов. В результате моделирования получены аналитические зависимости от времени для изгиба погружаемого стержня и реактивного усилия, противодействующего погружению. Развит численно-аналитический метод моделирования цилиндрической изгибаемой иглы, внедряемой в вязкоупругое полупространство. При этом используется модификация представленного выше аналитического решения, которая учитывает изменяемость по осевой координате реакции полупространства. Предполагается, что упругие и вязкие параметры винклеровского основания, моделирующего эту реакцию, изменяются пропорционально функции влияния. Она определяется из конечноэлементного моделирования семейства пространственных упругих задач о взаимодействии упругой иглы, внедренной на некоторую заданную глубину, и упругого полупространства с цилиндрическим каналом. Элементы семейства моделируют внедрение на глубины, изменяемые от нуля до максимального значения с достаточно малым шагом (1/50 от полного погружения). Это позволяет корректно учесть пространственный характер взаимодействия иглы и полупространства, а также концентрацию напряжений у кончика иглы и устья канала. С помощью развитых аналитических и численных подходов произведен вычислительный анализ эволюции напряженно-деформированного состояния полупространства, изгиба иглы и зависимостей глубины и скорости погружения от управляющих усилий, приложенных к её свободному концу. На основе вычислений показана возможность выбора щадящего управления, при котором интенсивности напряжений в полупространстве, моделирующем биологическую ткань, оказываются наименьшей.