ИСТИНА

Волноводный метод конечных элементов, или матричное уравнение Клейна-Гордона (МУКГ), является наиболее общей моделью волноводов, однородных по продольной координате. МУКГ может быть получено в результате дискретизации волновода по сечению. В наиболее общем виде МУКГ выглядит так: (D_2 ∂^2/(∂x^2 )+D_1 ∂/∂x+D_0-M ∂^2/(∂t^2 ))U(t,x)=F(t,x), где t – время, x – продольная координата, U(t,x) – вектор, описывающий поле в сечении волновода с координатой x, F(t,x) – возмущение, D_2,D_1,D_0,M – матричные коэффициенты, не зависящие от x и t. Как можно видеть, МУКГ представляет собой матричное дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка по x и t. МУКГ может описывать волноводы самой разной природы, в том числе и упругие пластины. Как известно, колебания тонких пластин описываются уравнением в частных производных, имеющем четвертый порядок по продольной координате. В данной работе мы строим МУКГ для пластины, принимая при этом последовательно линейную, квадратичную и кубическую аппроксимации деформации сечения пластины. Показывается, что с помощью линейного приближения не удаётся получить коэффициент жёсткости, известный из теории тонких пластин. Причина невозможности интерполировать пластину линейной функцией связана с явлением shear locking. При такой интерполяции пластина эффективно оказывается более жесткой, чем она есть на самом деле. В свою очередь, квадратичное и кубическое приближения позволяют получить коэффициент, совпадающий с теоретическим. Ключевые слова: матричное уравнение Клейна-Гордона, волноводный метод конечных элементов, shear locking, тонкие пластины.