ИСТИНА

Решения задачи Коши для гамильтоновых систем обладают рядом глобальных свойств с глубоким геометрическим и физическим содержанием (симплектичность, обратимость во времени, сохранение фазового объема, сохранение полного импульса, полного момента импульса и полной энергии при отсутствии внешних сил)[1]. Естественно потребовать от вычислительных методов сохранения этих свойств на приближенных решениях. Доклад содержит результаты испытаний нового метода на точных решениях модельной задачи об одномерном движении материальной точки в поле потенциала Морзе. В основе метода лежит двухпараметрическое семейство трехстадийных симметрично-симплектических неявных методов Рунге-Кутты [2, 3], имеющих, как минимум, четвертый порядок аппроксимации. Система разрешающих уравнений этих методов дополняется условием сохранения полной энергии, при этом параметры семейства рассматриваются как новые неизвестные. Согласно проведенным исследованиям, расширенная система имеет решение, которое находится итерационным методом. Внутренние итерации служат для определения решения разрешающих уравнений при заданных значениях параметров метода, а внешние позволяют определить значения параметров из условия нулевого дисбаланса полной энергии. Приводятся результаты апостериорного анализа дефектов симплектичности, дефектов обратимости во времени, дисбаланса полной энергии, а также погрешности приближенных решений, полученных новым вычислительным методом. Проводится сравнение с известными вычислительными методами решениях задачи Коши для гамильтоновых систем. Обсуждаются преимущества нового метода. Литература 1. Нarier E., Lubich C., Wanner G. Geometric Numerical Integration. Springer, Berlin, 2006, 515 р. 2. Oewel W., Sofrouniou M. Symplectic Runge-Kutta schemes II: classification of symmetric methods. Preprint, 1997, University of Paderborn, 47 p. 3. Еленин Г.Г., Шляхов П.И. Геометрическая структура пространства параметров трехстадийных симплектических методов Рунге-Кутты // Математическое моделирование, 2011, т.23, №5, с.16-34.