ИСТИНА

Доклад будет посвящен нормальному параболическому уравнению (НПУ), связанному с трехмерной системой Гельмгольца, чей нелинейный член B(v) является ортогональной проекцией нелинейного члена системы Гельмгольца на луч, порожденный вектором v. Исследование НПУ такого типа интересно по следующим причинам: 1) Оно открывает путь построения метода нелокальной стабилизации посредством управления с обратной связью для трехмерной системы Гельмгольца, а также для уравнений Навье-Стокса. (Напомним, что локальная теория стабилизации системы Навье-Стокса и близких уравнений в основном построена: см. [1] и ссылки в этой работе.) 2) Оно может помочь лучше понять сложности, которые необходимо преодолеть для решения проблемы Миллениума о нелокальном существовании гладкого решения трехмерной системы Навье-Стокса. Легко видеть, что если у решения системы Гельмгольца возникают сингулярности, то это происходит за счет той части B(v) нелинейного члена системы Гельмгольца, которая образует нелинейный член соответствующего НПУ. При этом структура B(v) оказывается столь простой, что существует явная формула, задающая любое решение НПУ, что позволяет решить ряд вопросов. В докладе мы опишем структуру динамического потока, соответствующего этому НПУ (см. [2]). Кроме того, будет сформулирована проблема нелокальной стабилизации НПУ посредством стартового управления, сосредоточенного на произвольной заданной подобласти пространственной области, где определено НПУ (см. [3], [4]). Будут обсуждаться основные шаги решения этой проблемы, а также объяснена ее связь с проблемой нелокальной стабилизации трехмерной системы Гельмгольца посредством импульсного управления. Литература. [1] A.V.Fursikov, A.V.Gorshkov. “Certain questions of feedback stabilization for Navier-Stokes equations.”-Evolution equations and control theory (EECT), v.1, N1, 2012, p.109-140. [2] A.V.Fursikov. “On the Normal-type Parabolic System Corresponding to the three-dimensional Helmholtz System”.- Advances in Mathematical Analysis of PDEs. AMS Transl.Series 2, v.232 (2014), 99-118. [3] A.V.Fursikov. “Stabilization of the simplest normal parabolic equation by starting control.”- Communication on Pure and Applied Analysis, v.13,\# 5,September (2014),1815-1854. [4] A.V.Fursikov, L.S.Shatina. “Nonlocal stabilization of the normal equation connected with Helmholtz system by starting control.”-ArXiv: 1609.08679v2[math.OC] 26 Feb. 2017, p.1-55