Описание:Основное содержание курса.
Ортогональные системы.
Ортонормированные системы (ОНС) в гильбертовом пространстве. Коэффициенты Фурье и ряд
Фурье по ОНС. Тождество и неравенство Бесселя. Теорема Рисса-Фишера. Эквивалентность
равенства Парсеваля и сходимости ряда Фурье для произвольной системы. Полнота и замкнутость системы. Примеры ортогональных систем функций: тригонометрическая
система и система Радемахера.
Система Хаара.
Построение, ортогональность, полнота, вид частных сумм. Система Хаара - первый пример
системы всплесков. Равномерная сходимость ряда Фурье~-- Хаара непрерывной функции.
Базисы в банаховом пространстве.
Биортогональные системы, минимальность. Характеризация базисов в банаховом пространстве. Система Хаара - базис в пространствах Лебега. Пример системы кусочно-линейных всплесков (сплайн-всплесков) - система Фабера-Шаудера. Система Фабера-Шаудера - базис в C[0,1].
Система Франклина - ортогональный базис для C[0,1].
Базисы Рисса.
Гильбертовы и бесселевы системы, системы Рисса. Базисы Рисса в гильбертовом
пространстве, их связь с ортонормированными базисами. Базис Рисса - безусловный базис.
Пример базиса, не являющегося базисом Рисса. Базис Рисса и сопряжённая к нему система,
неравенства для них.
Фреймы и разложения по ним.
Фреймы в конечномерном пространстве. Фреймы в гильбертовом пространстве. Границы фрейма,
фреймовый оператор, двойственный фрейм, канонический двойственный фрейм. Жёсткий фрейм, фрейм Парсеваля. Пример фрейма, не содержащего базиса Рисса. Фрейм (жёсткий фрейм), как проекция базиса Рисса (ортонормированного базиса) из большего пространства. Необходимые и достаточные условия единственности разложения по фрейму.
Приближённое восстановление функции из её коэффициентов Фурье по фрейму.
Важнейшие классы фреймов.
Фреймы сдвигов, регулярные и нерегулярные. Фреймы экспонент и негармонический Фурье-анализ. Фреймы Габора (Вейля-Гейзенберга). Преобразование Зака. Жёсткие фреймы Габора.
Всплески и кратномасштабный анализ.
Всплески (вейвлеты) на прямой. Ортонормированный базис всплесков.
Кратномасштабный анализ (КМА) для всплеска Хаара. КМА в L^2(R), его свойства,
естественность этой структуры. Масштабирующая функция. Ортонормированный базис и базис
Рисса в подпространстве, инвариантном относительно сдвигов. Масштабирующее уравнение, его маска. Необходимые и достаточные условия на функцию, при которых подпространства, натянутые на её сжатия и сдвиги, будут образовывать КМА.
Построение и примеры всплесков.
Всплески, порождённые кратномасштабным анализом с масштабирующей функцией v(x):
критерий, выражение всплеска p(x) через сдвиги v(2x). Всплески Хаара и Котельникова-Шеннона. Теорема Котельникова о сигнале с ограниченным
спектром. Всплески Мейера, всплески Добеши.
Алгоритмы разложения и восстановления функции.
Постановка задачи. Использование структуры кратномасштабного анализа и масштабирующего
уравнения. Каскадные алгоритмы вычисления коэффициентов вейвлет-разложения и
восстановления функции по ним. Особенности для случая финитной масштабирующей функции на
примере всплеска Хаара.
Базисы всплесков.
Условие, необходимое и достаточное для того, чтобы её сжатия и сдвиги образовывали
ортонормированный базис в L^2(R).
Пример всплеска, не порождённого кратномасштабным анализом. Достаточные условия и критерий порождённости данного всплеска каким-либо кратномасштабным анализом.
Безусловные базисы всплесков в L^p, p>1.
Фреймы всплесков (вейвлет-фреймы).
Непрерывное вейвлет-преобразование. Общие, диадические и нерегулярные вейвлет-фреймы;
двойственные к ним. Необходимые условия, достаточные условия. КМА для фреймов.
Построение и примеры вейвлет-фреймов.