|
ИСТИНА |
Войти в систему Регистрация |
ИСТИНА ИНХС РАН |
||
Геометрия пространств компактов с метриками Хаусдорфа и Громова–Хаусдорфа. Метрические тройки Громова.учебный курс
- Авторы: Иванов А.О., Тужилин А.А.
- Год создания: 2020
- Организация: МГУ имени М.В. Ломоносова
- Дистанционный курс
- Описание: На сей раз мы будем изучать метрические тройки Громова или mm-пространства, т.е. тройки (X,d,m), где X – топологическое пространство, d – метрика, порождающая топологию пространства X, и m – борелевская мера. Как правило, X будет польским пространством, т.е. гомеоморфным полному сепарабельному метрическому пространству. Далее, d будет некоторой полной метрикой на X. Топология пространства X порождает борелевскую сигма-алгебру BX и, тем самым, позволяет рассматривать X как измеримое пространство. Мера m предполагается определенной на BX и, как правило, или конечной, или сигма-конечной. Мы начнем с обсуждения некоторых фактов, описывающих возможные топологии польских пространств, т.е. выясним, как устроены классы гомеоморфности таких пространств (теорема П.С.Александрова и ее обращение, вложение в гильбертов куб, реализация в пространстве Урысона). Далее, мы обсудим классификацию измеримых пространств (X,BX) с точностью до измеримого изоморфизма: здесь в качестве X будет фигурировать произвольное борелевское подмножество польского пространства (теорема Куратовского). Затем, для пространств с мерой, в нашем случае для (X,BX,m), мы изучим классы изоморфизма таких пространств (теорема Рохлина). Наконец, мы перейдем к изучению метрических троек Громова (как отметил Вершик, устройство пространства метрических троек оказывается, в отличие от рассмотренных выше классификаций, и не тривиальным, и вполне обозримым). Используемая нами техника сочетает как подходы Хаусдорфа и Громова к изучению геометрии гиперпространств (семейств подмножеств некоторого метрического пространства, или семейств метрических пространств), так и подходы Канторовича, Вассерштейна и др. к исследованию пространств мер (обычно, вероятностных), заданных на данном измеримом пространстве. Мы предполагаем, что слушатели знакомы с основами топологии и теории меры. Впрочем, мы готовы, по желанию слушателей, увеличивать степень детализации изложения, в частности, приводить доказательства утверждений, которые мы доказывать не собирались, а формулировали в качестве упражнений.
- Добавил в систему: Тужилин Алексей Августинович
Преподавание курса
- 10 февраля 2020 - 25 мая 2020 Тужилин Алексей Августинович
- МГУ имени М.В. Ломоносова, Механико-математический факультет
- обязательная, по выбору (спецкурс), лекции, 32 часов
- Авторы: Иванов А.О., Тужилин А.А.