Описание:В этих лекциях мы хотим доходим до теоремы, классифицирующей элементарные теории (классификация с точностью до элементарной эквивалентности) определенного типа степенных нильпотентных групп.
Надо заметить, что полноценная классификация каких-то алгебраических систем с точностью до элементарной эквивалентности — это редкая удача. На данный момент такие классификации известного только для нескольких классов систем:
— для абелевых групп (результаты польского математика Шмелевой): результат формулируется так, что абелевы группы элементарно эквивалентны в том и только том случае, когда некоторые специальные числовые инварианты, построенные по ним, попарно совпадают;
— для булевых колец (результаты Ю.Л. Ершова): также элементарная эквивалентность булевых колец равносильна совпадению специальных инвариантов, построенных по ним;
— для линейных групп разных типов (классический результат А.И. Мальцева по элементарной эквивалентности классических линейных групп над полями; далее результаты К.И. Бейдара и А.В. Михалева по элементарной эквивалентности классических линейных групп над телами и первичными кольцами; результаты Е.И. Буниной по элементарной эквивалентности унитарных линейных групп над кольцами, по элементарной эквивалентности групп Шевалле над локальными кольцами; другие подобные результаты): в этом случае результат звучит как равносильность элементарной эквивалентности линейных групп совпадению их размерности и элементарной эквивалентности соответствующих полей (тел, колец матриц и т. д.);
— для нильпотентных степенных групп (с некоторыми ограничениями): элементарная эквивалентность двух нильпотентных групп равносильна изоморфности так называемых основ этих групп.
Вот этот последний результат мы и доказываем в данном спецкурсе.