|
ИСТИНА |
Войти в систему Регистрация |
ИСТИНА ИНХС РАН |
||
Контактная геометрия в математике и физикеучебный курс
- Автор: Кушнер А.Г.
- Год создания: 2022
- Организация: МГУ имени М.В. Ломоносова
- Описание: Основы контактной геомерии были заложены в работах Гюйгенса, Эйлера, Гиббса, Ампера, Монжа, Ли. Примерами задач, лежащих в основе контактной геометрии, являются задача о распространении фронта возмущений (принцип Гюйгенса), задача конструирования зубчатых механизмов (Клейн). Контактная геометрия также является естественным языком для описания термодинамических процессов и систем. Геометрический подход к термодинамике восходит к работам Гиббса. Объединение первого и второго законов термодинамики привело его к так называемому «фундаментальному уравнению термодинамики». С современной точки зрения это уравнение представляет собой дифференциальную 1-форму на нечетномерном пространстве, координатами в котором являются экстенсивные и интенсивные переменные. Эта дифференциальная 1-форма определяет контактное распределение на фазовом пространстве термодинамических переменных. Это, в частности, объясняет популярность применения в термодинамике преобразования Лежандра, которое является контактным преобразованием. Контактная геометрия возникает при исследовании дифференциальных уравнений, как обыкновенных, так и в частных производных. Теория симметрий дифференциальных уравнений (Ли, Овсянников) использует контактные преобразования и их обобщения – так называемые преобразования Ли. В этом случае пространства, на которых определены контактные структуры – это так называемые пространства джетов (струй). Теория симметрий с успехом применяется для нахождения точных решений дифференциальных уравнений. Теория особенностей решений дифференциальных уравнений, волновых фронтов и ударных волн также описывается в терминах контактной геометрии. В лекционном курсе будут даны основы классической контактной геометрии, а также дан современный подход к ней, основанный на теории гладких многообразий, векторных полей, дифференциальных форм. Будут рассмотрены приложения контактной геометрии: • теория симметрий дифференциальных уравнений; • применеие к интегрированию уравнений, возникающих в механике сплошных сред, нелинейной акустике, математической биологии; • возникновение и эволюция ударных волн в сплошных средах; Особенностью курса является активное применение программы символьных вычислений Maple, в частности двух её библиотек: DifferentialGeometry и JetCalculus.
- Добавил в систему: Кушнер Алексей Гурьевич