Описание:Аннотация курса.Курс для аспирантов.
Лекции 32 часа.Компьютерные презентации.
Перечень разделов курса
1. Роль дифференциальных уравнений в развитии научного метода приобретения знаний. Основные виды дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения в частных производных. Примеры уравнений в частных производных, лежащих в основе основных классов математических математических моделей: уравнения Максвелла для проводящей среды, уравнение Шредингера, уравнения Пуассона и Лапласа, уравнения газовой динамики. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Математические модели радиоактивного распада, колебательного контура, системы хищник-жертва, множества взаимодействующих материальных точек. Дифференциально-алгебраические уравнения. Дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. Интегро-дифференциальные уравнения. Области применимости математических моделей.
2. Постановки задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. Стандартная постановка задачи для нормальной системы уравнений. Носитель решения. Векторное поле. Состояние системы. Фазовое пространство и расширенное фазовое пространство. Фазовый поток. Представления решения. Автономная система. Параметрическая система. Постановка задачи для матрицы-функции. Матрица Якоби потока. Уравнение в вариациях. Постановка задачи для уравнений второго порядка. Редукция задачи для уравнений высокого порядка.
3. Существование, единственность и дифференцируемость решения задачи Коши. Теорема о существовании решения. Теорема о единственности решения. Решение, существующее в целом. Естественная параметризация решения задачи Коши. Теорема о дифференцируемости решения.
4. Глобальные свойства решений задачи Коши. Первые интегралы. Полная система первых интегралов. Инвариантность линейной и квадратичной форм. Сохранение скалярного произведения, определителя матрицы, ортогональности ее столбцов и собственных чисел. R-обратимые системы и R-обратимые отображения. Симплектичность. Теорема Пуанкаре о симплектичности фазового потока. Примеры симплектичных систем. Изменение фазового объема. Теорема Лиувилля. Консервативные и диссипативные системы.
5. Задача Коши для систем линейных уравнений. Система линейных неоднородных уравнений. Представление решений. Точные решения задачи для однородных уравнений.
6. Краевые задачи для систем линейных уравнений. Сведение к задаче Коши. Формулировка многоточечной краевой задачи для нормальной системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Постановка и решение задачи о переносе граничных условий. Дифференциальная прогонка. Задача Штурма-Лиувилля. Задача о стационарных состояниях водородоподобного атома.
7. Гамильтоновы системы. Движение множества взаимодействующих материальных точек. Постановка задачи N - тел. Сохранение полного количества движения, полного момента количества движения, полной энергии и фазового объема. Симплектичность. Обратимость во времени. Редукция задачи двух тел к задаче о движении в центральном поле. Финитные и инфинитные движения, закнутые и незамкнутые траектории в задаче о движении в центральном поле. Задача Кеплера. Дополнительные законы сохранения в задаче Кеплера. Линеаризация задачи. Точное решение задачи в виде комбинации элементарных функций. Задача трех тел. Частные решения Эйлера и Лагранжа. Хореографические движения.
8. Жесткие задачи Коши. Примеры жестких задач.
9. Элементы качественного анализа решений задачи Коши. Фазовый портрет. Особые точки векторного поля. Линеаризованная система. Матрица Якоби в особой точке. Невырожденная особая точка. Устойчивость особых точек. Теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению. Функция Ляпунова. Достаточные условия устойчивости. Сепаратрисы особых точек. Гомоклинические и гетероклинические траектории. Сепаратрисный контур. Периодические решения. Предельные циклы. Орбитальная устойчивость. Теорема Флоке. Матрица монодромии. Показатели Флоке. Теорема об устойчивости периодического решения. Отображение Пуанкаре. Последовательность преобразований Пуанкаре. Устойчивость неподвижной точки преобразования Пуанкаре. Инвариантный тор. Устойчивость инвариантного тора. Квазипериодические решения. Преобразование Пуанкаре решений на инвариантном торе. Устойчивость решений задачи Коши. Показатели Ляпунова. Аттрактор. Эргодическое движение. Странные аттракторы.
10. Задачи для уравнений гиперболического уравнения. Гиперболические уравнения. Метод характеристик. Телеграфное и волновое уравнения. Формула Даламбера. Уравнения газовой динамики и акустики. Сильные разрывы. Задача о распаде произвольного разрыва.
11. Задачи для параболических уравнений. Уравнение теплопроводности с источником. Уравнения диффузии и химических реакций. Явления пространственно-временной самоорганизации. Неустойчивость Тьюринга. Автоволновые структуры.
12. Задачи для уравнения Шредингера. Свободное движение микрочастицы. Задача о взаимодействии микрочастицы с потенциальным барьером.
13. Требования к вычислительным методам.