Описание:Дается введение в теорию макс-алгебр (тропических алгебр) и более общих полуколец. Изложены основы линейной алгебры над полукольцами: различные типы линейной независимости, связи между ними, ранговые функции, аналоги определителя, способы решения систем линейных уравнений. Описаны приложения полученных результатов к задачам оптимизации и теории расписаний. Приводится ряд открытых проблем для самостоятельной научной работы студентов.
Программа курса. Кольца и полукольца. Основные свойства полуколец. Базовые примеры полуколец. Булевы алгебры и их приложения. Максалгебры и их свойства. Приложения максалгебр. Синхронизация и оптимизация. Периодические режимы в транспортных и производственных системах. Ориентированные графы и матрицы над максалгеброй. Линейно алгебраические инварианты матриц над максалгеброй: бидетерминант, вырожденность и ранговые функции (детерминантный, факторизационный и граничный ранги, тропический ранг). Линейная зависимость и независимость над полукольцами. Сильная, слабая и Гондран-Мину линейные зависимости матриц над макс-алгебрами. Ранг Гондрана-Мину, строчный и столбцовый ранги относительно слабой линейной зависимости. Теорема о ранге. Решение односторонних систем линейных уравнений над максалгеброй. Проблема собственных значений. Собственные числа и собственные векторы операторов над максалгеброй. Методы теории графов для решения проблемы собственных значений. Приложения линейной алгебры над максалгебрами. Открытые вопросы и гипотезы.