Описание:Курс квантовой теории является составной частью курса теоретической физики. Содержание данного курса учитывает, с одной стороны, специфику научных интересов студентов отделений физики твердого тела (ОФТТ) и радиофизики и электроники (ОРФиЭ), для которых он предназначен, а с другой стороны – содержание ранее изученных студентами курсов «Физика атомного ядра и частиц», «Введение в квантовую физику» и «Атомная физика», которые дают предварительное знакомство с системой понятий и аппаратом квантовой теории.
Структура и содержание курса.
Проблема определения предмета и границ применимости квантовой теории. Масштаб действия в квантовой теории: квазиклассическая, существенно квантовая и ультраквантовая области параметров. Точность квантовой теории. Место квантовой теории в структуре современной физики
Основные понятия квантовой теории: состояние, вектор, наблюдаемая, оператор. Скалярное произведение, норма вектора, нулевой вектор, ортогональные векторы. Фиделити. Базис, амплитуды. Примеры базисов: функции Эрмита, финитный базис Фурье. Гильбертово пространство, линейный оператор, проекционный оператор. Тензорное произведение векторов. Оператор Фурье. Единичный оператор, дельта-функция. Матричный элемент, матрица оператора. Эрмитовски сопряженный оператор, эрмитов оператор. Собственный вектор, собственное значение. Секулярное уравнение. Вырожденное собственное значение, кратность вырождения. Ортогонализация. Ограниченный оператор. Спектр оператора, дискретный и непрерывный спектры. Разложение по собственным функциям непрерывного спектра.
Спектр и вероятности, постулат Борна. Постулат фон Неймана. Редукция (коллапс) вектора состояния. Среднее значение, дисперсия, неопределенность.
Произведение операторов, коммутатор, коммутационное соотношение. Соотношения неопределенностей. Унитарный оператор, матрицы Паули. Унитарное преобразование. Функции от операторов. Алгебра операторов и спектры. Операторы уничтожения, рождения и числа квантов. Гармонический осциллятор.
Построение операторов наблюдаемых в квантовой теории и принцип соответствия. Операторы координат и компонент импульса. Основные классы гамильтонианов. Феноменологические законы взаимодействия.
Волновая функция. Координатное и импульсное представления. Уравнения движения. Картина Гейзенберга. Уравнения Гейзенберга. Теорема Эренфеста. Картина Шредингера. Уравнение Шредингера. Оператор эволюции. Интеграл движения. Свободная частица.
Стационарное уравнение Шредингера. Стационарные состояния, уровни энергии, энергетический спектр. Суперпозиция состояний. Частота перехода. Теорема Крылова – Фока. Распад состояния. Квазистационарные состояния. Плотность потока вероятности.
Уравнение непрерывности. Теоремы о матричных элементах. Правила сумм Бете. Сила осциллятора перехода. Теорема Томаса – Райхе – Куна. Вириал силы, теорема о вириале.
Одномерное стационарное уравнение Шредингера. Потенциальная яма. Энергия связи. Связанные состояния. Осцилляционная теорема. Борновский параметр. Теорема Хелльмана – Фейнмана. Основные модели: дельта-потенциал; малые колебания и гармонический осциллятор. Заряженная частица в магнитном поле: циклотронная частота, уровни Ландау, длина локализации в магнитном поле, магнетон Бора. Прямоугольная яма и родственные ей модели (потенциальный ящик, объем квантования, куб периодичности). Численное решение стационарного уравнения Шредингера методом стрельбы. Расчет дискретного спектра диагонализацией гамильтониана.
Непрерывный спектр: задача рассеяния. Подбарьерное прохождение (туннелирование). Надбарьерное отражение. Времена туннелирования. Автоионизация в переменном поле, параметр адиабатичности. Рассеяние волновых пакетов.
Периодические потенциалы. Теорема Блоха. Квазиволновое число. Квазиимпульс. Пример: дираковская потенциальная гребенка. Зонная структура спектра. Закон дисперсии. Эффективная масса.
Функция Грина и задача рассеяния. Операторная структура функции Грина. Диагональный матричный элемент и плотность состояний.
Метод Вентцеля – Крамерса – Бриллюэна (ВКБ). Дебройлевская длина волны. Классически недоступная область, точки поворота, правила связи. Правило квантования Бора – Зоммерфельда. Теоремы соответствия для частот и для матричных элементов. Плотность состояний в квазиклассическом приближении, формула Вейля. Туннелирование в методе ВКБ.
Угловой момент: постановка задач. Орбитальный момент, спиновый момент (спин). Алгебра момента и квантовые числа. Соотношение неопределенностей для момента. Геометрия момента. Координатное представление и собственные функции орбитального момента.
Кинематика спина. Динамика спина: направление поляризации, вектор Блоха, сфера Блоха. Уравнение Паули. Осцилляции Раби, частота Раби. Сложение двух спинов. Оператор полного спина. Триплетное и синглетное состояния. Гамильтониан Гейзенберга.
Центральное поле: разделение переменных, квантовые числа. Общие свойства дискретного спектра. Центробежный и эффективный потенциалы; дальнодействующие и короткодействующие потенциалы взаимодействия.
Кулоновский потенциал. Случайное вырождение и главное квантовое число. Вектор Рунге – Ленца. Рекуррентная формула Крамерса. Ридберговские атомы.
Короткодействующие центральные потенциалы. Потенциал сферической оболочки Сферическая яма. Точечный потенциал (потенциал нулевого радиуса ). Оболочечная модель ядра.
Ревизия использованных ранее приближенных методов. Прямой вариационный метод. Возможности развития: оценки снизу; оценки для энергий возбужденных состояний. Стационарная теория возмущений (версия Рэлея – Шредингера). Связь с вариационным методом: «полуторный порядок» ТВ. Три класса задач: контролируемые возмущения (внешние поля), неконтролируемые возмущения (взаимодействие подсистем), суммирование рядов теории возмущений.
Примеры расчетов реалистичных моделей. B1. Двухэлектронный атом, основное состояние. A1. Атом водорода в электрическом поле: основное состояние, поляризуемость. Правила отбора для матричных элементов векторов. Разрешенные и запрещенные переходы. Дипольное приближение. Оценки поляризуемости сверху и снизу, точное решение (метод Дальгарно – Льюиса).
Стационарная теория возмущений для вырожденного случая. Правильные собственные векторы нулевого приближения, гибридизация векторов. A1. Атом водорода в электрическом поле: возбужденные состояния, линейный эффект Штарка. A2. Атом водорода в магнитном поле. Эффект Зеемана. Атом с нулевым магнитным моментом в магнитном поле. Магнитная восприимчивость.
Метод линейных комбинаций {в теории молекул – метод линейных комбинаций атомных орбиталей (ЛКАО), в теории твердого тела – модель (метод) сильной связи. Интегралы перехода и перекрытия. B2. Молекулярный ион водорода. Электронный терм. Метод Борна – Оппенгеймера. Колебательный и вращательный спектры молекулы. Антисимметричный терм H2+: модификация с учетом поляризуемости.
С1. Модель сильной связи. Периодическая цепочка. Плотность состояний: непосредственное суммирования ряда для диагонального элемента функции Грина. Альтернативный подход: суммирование неприводимых членов и вывод уравнения для диагонального элемента функции Грина.
Теория возмущений для квазивырожденного случая. Двухуровневая система: зависимость фиделити возмущенного и невозмущенного состояний от отношения недиагонального матричного элемента к разности уровней и гибридизация.
С2. Апериодическая цепочка сильной связи: модель Андерсона. Андерсоновская локализация. Показатель Ляпунова. Длина локализации. Связность решетки. Края подвижности.
Условия применимости теории возмущений.
Композитные системы. Тензорное произведение линейных пространств. Сепарабельные состояния. Запутанность.
Матрица плотности. Смешанные состояния. Чистота состояния. Населенность и когерентность. Энтропия смешения. Уравнение фон Неймана. Скорости релаксации (продольной и поперечной) элементов матрицы плотности. Редуцированная матрица плотности.
Тождественные частицы. Принцип Паули в старой квантовой теории. Принцип Паули и симметрия волновых функций. Фермионы, бозоны, перестановка частиц и числа заполнения. Детерминантная форма волновой функции для системы тождественных невзаимодействующих фермионов (детерминант Слейтера). Статистика составных частиц: правило Эренфеста – Оппенгеймера. Два невзаимодействующих тождественных фермиона со спином ½. Обменное взаимодействие, электронная конфигурация.
Идеальный ферми-газ. Импульс Ферми, поверхность Ферми, скорость Ферми, энергия Ферми. Применения модели: электронный газ в металлах, сверхплотное вещество, ядерная материя: ферми-газ нуклонов. Электронный газ во внешних полях. Электрическое поле: холодная эмиссия. Магнитное поле – парамагнетизм Паули, диамагнетизм Ландау.
Взаимодействующие тождественные частицы. Слабое взаимодействие: кулоновский и обменный интегралы. Парагелий и ортогелий. Сильное взаимодействие: четность орбитального момента. Молекула водорода: параводород и ортоводород. Скорости радиационных переходов между орто- и парасостояниями.
Основные упрощения в теории многоэлектронных атомов. Спектральный терм, электронная оболочка. Заполнение электронных оболочек, правило Маделунга.
Метод Хартри. Уравнения Хартри, самосогласованное поле. Теорема Купманса. Терм как группа состояний с одинаковыми S и L. Мультиплетность терма.
Уравнения Хартри – Фока. Уравнение Томаса – Ферми. Фермиевская дырка. Обменная энергия, корреляционная энергия.
Квантовые переходы (скачки, прыжки) в старой квантовой теорию Квантовые скачки и вероятность перехода. Нестационарные задачи квантовой теории. Характерные параметры системы: частота перехода, характерное время возмущения и частота Раби. Внезапные возмущения. Уравнения для амплитуд. Нестационарная теория возмущений и конечномерные приближения. Адиабатическое возмущение. Расстройка частоты. Резонансная энергия. Квантовый эффект Зенона. Золотое правило Ферми. Характерные времена, связанные с ЗПФ: время Зенона и время Гейзенберга. Квазиконтинуум. Пример: Скорость однофотонной ионизации атома водорода. Переходы в дискретном спектре под воздействием возмущения с непрерывным частотным спектром.
Переходы в двухуровневой системе. Приближение вращающегося поля. Пи-импульс, «два пи» импульс.
Переходы в гармоническом осцилляторе, вызванные переменным однородным полем. Когерентные состояния.
Постановка задачи рассеяния. Амплитуда рассеяния. Дифференциальное (эффективное) и полное сечения рассеяния. Оптическая теорема. Борновское приближение: нестационарный и стационарный подходы. Пример: потенциал Юкавы и предельный переход к формуле Резерфорда.
Метод парциальных волн. Фаза рассеяния. Формула Факсена – Хольтсмарка. Парциальная амплитуда и парциальное сечение рассеяния. Длина рассеяния. Эффект Рамзауэра – Таунсенда. Резонансное рассеяние. Виртуальный уровень энергии.
Квазистационарные состояния в теории рассеяния. Резонансное рассеяние на квазистационарных состояниях. Потенциальное рассеяние как альтернатива резонансному.
Мода электромагнитного поля. Фотон. Радиационные переходы в дискретном спектре: спонтанное излучение атомов. Мультипольное разложение. Естественная форма линии. Радиационные переходы в непрерывном спектре: тормозное излучение. Спектральное сечение излучения. Эффективное излучение в классической и квантовой теориях тормозного излучения.
Излучение атома в резонаторе: модель Джейнса – Каммингса, вакуумная частота Раби. Излучение атома в резонаторе с потерями: эффект Перселла, подавленное спонтанное излучение.
Рассеяние фотона на электроне. Рассеяние фотона на атоме: стандартная теория возмущений; учет квазистационарности возбужденных состояний атома и резонансная флюоресценция. Модель двухуровневой системы в резонансном поле и сдвиг частот внешним полем излучения.
1. П. А. М. Дирак. Принципы квантовой механики. 2. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. Курс теоретической физики. т.3. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. 3. А. С. Давыдов. Квантовая механика. 4. П. В. Елютин, В. Д. Кривченков. Квантовая механика с задачами. 5. О. Д. Тимофеевская, О. А. Хрусталев. Лекции по квантовой механике.