Описание:Годовой спецкурс для студентов младших курсов, а также всех, интересующихся современной геометрией и топологией.
Основная цель нашего спецкурса в осеннем семестре – доказать следующую теорему.
Теорема. Пусть X – ограниченно компактное метрическое пространство, а M – непустое замкнутое подмножество X. Тогда если существует связное компактное подмножество S ⊃ M (континуум) конечной одномерной меры Хаусдорфа, H1(S) < ∞, то среди всех континуумов G ⊃ M имеется G0, для которого H1(G0) = inf H1(G).
Эта теорема, вместе с дальнейшим списком свойств минимального континуума G0, является решением на языке метрической геометрии классической проблемы Штейнера, в которой требуется научиться строить кратчайшую сеть дорог, соединяющую заданный набор конечных пунктов, например, городов.
Чем интересна эта теорема? Во-первых, она является важным частным случаем теорем существования решения задач геометрического вариационного исчисления, изучающего оптимальные "поверхности", затягивающие те или иные границы. Во-вторых, при доказательстве этой теоремы мы познакомим слушателей как с началами геометрической теории меры, так и с теорией расстояний Хаусдорфа и Громова−Хаусдорфа: первое характеризует взаимное расположение подмножеств метрического пространство, а второе – "сходство" двух различных метрических пространств. Отметим, что мера и расстояние Хаусдорфа, хоть и представляют на первый взгляд объекты существенно разной природы, на самом деле оказываются тесно связанными, о чем мы расскажем, доказав знаменитую теорему Голаба (Gołąb) о полунепрерывности одномерной меры Хаусдорфа по отношению к топологии, заданной расстоянием Хаусдорфа. Классические доказательства этой теоремы достаточно сложны и используют разнообразную технику геометрической теории меры. Мы же приведем "элементарное" доказательство, предложенное Альберти (Alberti) и Оттолини (Ottolini) и опубликованное в 2017 году.