Описание:Курс знакомит студентов с основными понятиям и конструкциями теории случайных процессов. В первой части курса обсуждаются измеримость, марковость, моменты достижения. Изучаются цепи Маркова и свойства их состояний: возвратность, неприводимость, апериодичность. Доказывается теорема Перрона-Фробениуса. Обсуждается вывод уравнений Колмогорова-Феллера, конструкция, свойства его минимального решения, выводятся необходимые и достаточные условия отсутствия явлений взрыва и ухода на бесконечность.
Во второй части курса рассматриваются методы построения решений уравнений Колмогорова-Феллера методом Монте-Карло, использующим численную реализацию случайных скачкообразных траекторий. Для потенциалов, являющихся Фурье-образами комплексных мер, имеющих конечную абсолютную вариацию, изучается конструкция, позволяющая построить решение задачи Коши для уравнения Шредингера с помощью скачкообразного марковского процесса, связанного с потенциалом электромагнитного поля в импульсном представлении и в представлении вторичного квантования. Обсуждаются основные конструкции винеровского случайного процесса и его свойства. Рассматриваются формулы стохастического дифференцирования Ито и вероятностные представления решений задачи Коши для уравнения теплопроводности и основных типов краевых задач для эллиптических уравнений в терминах математических ожиданий по траекториям диффузионных процессов. Доказываются формулы Фейнмана и Гирсанова, использующие преобразования вероятностных мер для представления решений задачи Коши для параболических уравнений.