|
ИСТИНА |
Войти в систему Регистрация |
ИСТИНА ИНХС РАН |
||
Уточнение асимтотики собственных значений задачи Штурма-Лиувилля с сингулярным самоподобным весомдипломная работа (Специалист)
- Научный руководитель: Шейпак И.А.
- Автор: Омельяненко В.А.,
- Тип: Специалист
- Организация, в которой проходила защита: МГУ имени М.В. Ломоносова
- Год защиты: 2015
- Аннотация: В дипломной работе В.\,А.\,Омельяненко изучаются спектральные свойства задачи \begin{gather*} -y''=\lambda\rho y,\\ y(0)=y(1)=0, \end{gather*} представляющей собой модель колебания неоднородной струны с закрепленными концами. Вес $\rho$ является обобщенной функцией. Известно, что если $\rho\in \Wo^{-1}_2[0;1]$, то спектр задачи дискретный. Далее задача изучается с весами, порожденных самоподобными функциями: $\rho= P'$. В частности, если $P\in L_2[0;1]$ есть самоподобная функция нулевого спектрального порядка, то она является неподвижной точкой сжимающего в $L_2[0;1]$ оператора $G$: $$ G[P](t)=\sum\limits_{k=1}^n\left(d_k\cdot P\left(S_k^{-1}(t)\right)+\beta_k\right)\cdot\chi_{(\alpha_k,\alpha_{k+1})},\quad S_k(t)=a_kt+\alpha_k, $$ где ровно для одного индекса $m\in\{1,2\ldots,n\}$ выполнено условие $d_m\ne 0$. Здесь $\{\alpha_{k}\}_{k=1}^{n+1}$ --- набор точек, разбивающий отрезок $[0;1]$ на $n$ подотрезков: $0=\alpha_1<\alpha_2<\ldots<\alpha_n<\alpha_{n+1}=1$, $a_k=\alpha_{k+1}-\alpha_k$. В этом случае задача имеет $n-1$ серию собственных значений, каждая из которых имеет экспоненциальную асимптотику: $\lambda^{l}_n\sim c_l\left(\frac{1}{a_m|d_m|}\right)^n$, $l=1,2,\ldots, n-1$. Функция $\rho\in \Wo^{-1}_2[0;1]$ тогда и только тогда, когда $a_m|d_m|^2<1$. Та же асимптотика сохраняется и при выполнении условия $a_m|d_m|<1$. В этом случае вес $\rho$ принадлежит пространству компактных мультипликаторов из $\Wo^{}_2[0;1]$ в $\Wo^{-1}_2[0;1]$. Значения констант $c_l$ не известны, а для многих приложений (спектральная теория операторов, теория случайных процессов, уравнения математической физики) более точная информация об асимптотике собственных значений очень важна. Целью работы В.\,А.\,Омельяненко является явное вычисление констант $c_l$ в терминах параметров самоподобия функции $P$. Рассматриваются двузвенные ($n=2$) самоподобные функции при $m=2$. В этом случае имеется одна серия собственных значений, поэтому достаточно вычислить одну константу $c_1=c$.
- Добавил в систему: Шейпак Игорь Анатольевич