Аннотация:В~классическом случае поиска корней скалярной функции, заданной на отрезке,
метода Ньютона состоит в том, что дуга
кривой $y=f(x)$ заменяется касательной к этой кривой (это наблюдение
раскрывает геометрический смысл метода Ньютона, который также называется методом касательных).
В~работе рассматривается применение многомерного метода Ньютона и его современных обобщений при использовании в решении систем
нелинейных алгебраических уравнений. Хорошо известно, что
сходимость классического метода Ньютона
сильно зависит от степени близости начального приближения к искомому
решению. В работе используется его модификация~-- метод Исаева--Сонина, который практически лишен этого недостатка.
Метод Ньютона для решения уравнения $X(\alpha ) = 0$ (где $X : \mathbb{R}^nn \to \mathbb{R}^nn$) состоит в итерационной формуле
$\alpha _{k+1} = \alpha _k + \delta \alpha _{k+1}$, в которой $\delta \alpha _{k+1}$ определяется соотношением $X'(\alpha _k)\delta \alpha _{k+1} = -X(\alpha _k)$.
Модификация Исаева--Сонина состоит в том, что $\delta \alpha _{k+1}$ дополнительно умножается на множитель $\gamma _k$,
который должен удовлетворять следующим условиям: $\gamma _0 = 1$, $\gamma_k = \min\{1, 2\gamma _{k-1}\}$.
Если для ``нового'' $\alpha _{k+1}$ функция невязки монотонно уменьшается, то делается следующая итерация, иначе $\gamma _k$ уменьшается вдвое до
тех пор, пока не выполнится это условие и затем делается следующая итерация.
Работа носит в основном вычислительный характер. Численно находятся области сходимости метода, область сходимости
подразделяется на области по затрачиваемому числу итераций.