Предельное поведение собственных значений струны Стилтьеса в случае самоподобного веса - дипломная работа | ИСТИНА – Интеллектуальная Система Тематического Исследования НАукометрических данных

Научный руководитель: Шейпак И.А.
Автор: Годжаев С.З.
Тип: Специалист
Организация, в которой проходила защита: МГУ имени М.В. Ломоносова
Год защиты: 2020
Аннотация: Выпускная квалификационная работа C.\,З.\,Годжаева посвящена изучению спектральных свойств весовой задачи Штурма--Лиувилля \begin{gather*} -y''=\lambda\rho y,\\ y(0)=y(1)=0. \end{gather*} Вес $\rho$ является обобщенной производной самоподобной кусочно-постоянной функцией $P$. Функция $P$ удовлетворяет $n$-звенному уравнению самоподобия $$ P(x)=\sum_{k\ne m, k=1}^n \beta_k\chi_{(\alpha_k,\alpha_{k+1})}+ \left(d_mP\left(\frac{x-\alpha_m}{a_m}\right)+\beta_m\right)\chi_{(\alpha_m,\alpha_{m+1})}, $$ где $0=\alpha_1<\alpha_2<\ldots<\alpha_n<\alpha_{n+1}=1$ ---разбиение отрезка $[0;1]$ на подотрезки длины $a_k>0$. Таким образом вес можно задать в виде $\rho=\sum_{k=1}^\infty m_k\delta (x-x_k)$, при этом параметры самоподобия таковы, что $\rho$ принадлежит пространству мультипликаторов из $\mathring W^1_2[0;1]$ в $\mathring W^{-1}_2[0;1]$, более того является компактным мультипликатором. Известно, что если функция $P$ имеет в точках $\alpha_k$ ($k=2,3,\ldots n$) скачок $\zeta_k$, то задача имеет $n-1$ серию собственных значений. Ситуация, когда какая-нибудь точка $\alpha_k$ является точкой непрерывности функции $P$, ранее не изучалась. В выпускной работе С.\,З.\,Годжаева подробно исследуется поведение собственных значений при стремлении скачков $\zeta_k$ к нулю. Оказалось, что случай $k=m$ или $k=m+1$ существенно сложнее, чем случай $k\ne m,m+1$ и требует других методов исследования. Укажем основные результаты в выпускной квалификационной работе С.\,З.\,Годжаева. 1) Показано, что если $\zeta_k=0$, $k\ne m,m+1$, то соответствующая серия собственных значений пропадает. Самоподобную функцию $P$ можно задать уравнением самоподобия с меньшим числом параметров (число подотрезков можно уменьшить на величину, равную количеству нулевых скачков лишь бы соответствующий номер $k\ne m,m+1$). 2) Показано, что если $\zeta_k=0$, где $k= m$ или $k=m+1$, то задачу можно свести к задаче с новой $n-1$-звенной самоподобной функцией, которая имеет $n-1$ скачок в соответствующих точках. Сами эти новые точки и новые параметры самоподобия пересчитываются через старые параметры. Отметим, что для получения этого результата С.\,З.\,Годжаев придумал метод пересчета параметров самоподобия. Метод доказательства этого результата существенно отличается от методов пункта 1), которые не работают. 3) Исследован механизм "<исчезновения"> серии собственных значений, когда весовая функция становится непрерывной в одной из точек $\{\alpha_k\}$. Для этого был введен малый параметр, и в случае $\zeta_k=\varepsilon$ с помощью численных методов показано, что при $\varepsilon\to 0$ соответствующая серия собственных значений "<уходит"> на бесконечность.
Добавил в систему: Шейпак Игорь Анатольевич

	ИСТИНА	Войти в систему Регистрация
	ИСТИНА ИНХС РАН
	Главная Поиск Статистика О проекте Помощь

ИСТИНА

ИСТИНА ИНХС РАН

Предельное поведение собственных значений струны Стилтьеса в случае самоподобного весадипломная работа (Специалист)

Прикрепленные файлы