|
ИСТИНА |
Войти в систему Регистрация |
ИСТИНА ИНХС РАН |
||
О пороговом значении параметра возникновения точечного спектра в модели Фридрихсадипломная работа (Специалист)
- Научный руководитель: Шейпак И.А.
- Автор: Шмырев Дмитрий Дмитриевич
- Тип: Специалист
- Организация, в которой проходила защита: МГУ имени М.В. Ломоносова
- Год защиты: 2020
- Аннотация: В выпускной квалификационной работе Д.\,Д.\,Шмырёва изучаются спектральные свойства оператора $H:=T+\gamma K$, возникающем в модели Фридрихса в теории возмущений непрерывного спектра. Здесь $T$ есть оператор умножения на независимую переменную в $L_2[-1;1]$: $$ \forall f\in L_2[-1;1]\quad (Tf)(x)=xf(x). $$ Параметр $\gamma$ предполагается вещественным. Хорошо известно, что спектр оператора $T$ чисто непрерывен и представляет собой отрезок $[-1;1]$. В модели Фридрихса компактный оператор $K$ является интегральным $(Kf)(x)=\int_{-1}^1 k(x,t)f(t)\,dt$. В классической работе Фридрихса показано, что если ядро $k$ принадлежит Гельдеровскому классу и $k(x,-1)=k(x,1)=0$ при всех $x\in [-1;1]$, то существует пороговое значение $\gamma_0$, такое, что при $|\gamma|< \gamma_0$ оператор $H$ подобен оператору $T$ и, стало быть, спектр возмущенного оператора остается непрерывным. Однако при $|\gamma|>\gamma_0$ у оператора $H$ появляется собственное значение. С точки зрения приложений, важно явное значение $\gamma_0$. Также представляет интерес вопрос о том, какая характеристика оператора $K$ позволяет увеличить параметр $\gamma_0$. Кроме частных случаев, в литературе нет никаких результатов, определяющих пороговое значение хоть для какого-нибудь класса операторов. Кроме того, не ясно, какое из условий на ядро интегрального оператора (гельдеровость или зануление на концах отрезка) сильнее влияет на сохранение непрерывного спектра. В выпускной работе Д.\,Д.\,Шмырёва получены следующие результаты: 1) Для класса одномерных возмущений найдена оценка порогового значения $\gamma_0$ в терминах гипергеометрической функции. Причем эта оценка точна и приведен явный вид экстремального ядра. 2) Для одномерного возмущения со степенным характером зануления ядра на концах отрезка найдены оценки поведения порогового значения $\gamma_0$ в зависимости от порядка степени. 3) Для конечномернных возмущений получен критерий появления собственного значения у возмущенного оператора. 4) Для конечномернных возмущений получена нижняя оценка параметра в терминах показателя гельдеровости ядра. Это очень хороший результат. Для одномерного случая показано, что полученная оценка точна.
- Добавил в систему: Шейпак Игорь Анатольевич