|
ИСТИНА |
Войти в систему Регистрация |
ИСТИНА ИНХС РАН |
||
Метрические сегменты в классе Громова-Хаусдорфадипломная работа (Специалист)
- Научный руководитель: Тужилин А.А.
- Автор: Борисова Ольга Борисовна
- Тип: Специалист
- Организация, в которой проходила защита: МГУ имени М.В. Ломоносова
- Год защиты: 2021
- Аннотация: Работа Борисовой посвящена исследованию сегментов в классе Громова-Хаусдорфа. А именно, изучается собственный класс (в смысле теории множеств фон Неймана-Бернайса-Гёделя), состоящий из всех непустых метрических пространств, рассматривае-мых с точностью до изометрии. На этом классе определено расстояние Громова-Хаусдорфа или, для краткости, ГХ-расстояние, которое представляет собой неотрица-тельную симметричную функцию от пар элементов, удовлетворяющую неравенству тре-угольника. Отметим, что ГХ-расстояние может равняться нулю для пары неизометричных пространств, а также может быть равным бесконечности. Хорошо известно, что если ограничиться компактными метрическими пространствами, то ГХ-расстояние будет мет-рикой, т.е. всегда конечно и равно нулю в точности на изометричных пространствах. Иванов, Николаева и Тужилин показали, что ГХ-расстояние на пространстве метриче-ских компактов является геодезическим. Мемоли и Со ввели в рассмотрение особый тип кратчайших кривых, которые назвали R-геодезическими, и показали, что каждая пара метрических компактов соединяется некоторой R-геодезической. В работе Борисовой рассматриваются метрические сегменты, состоящие из метриче-ских пространств, лежащих между парой выбранных метрических пространств. Изучает-ся два типа сегментов: один из них, называемый просто сегментом, состоит из всех про-межуточных метрических пространств, а другой, называемый R-сегментом, – лишь из тех, которые лежат на R-геодезических, соединяющих заданные метрические простран-ства. В дипломной работе Клибус было выяснено, что каждый R-сегмент в пространстве компактных метрических пространств сам является компактом. В работе Борисовой получены многочисленные результаты, касающиеся свойств сег-ментов и R-сегментов. Борисова предложила оригинальную конструкцию, позволяющую расширять метрическое пространство, лежащее внутри сегмента, добавлением ровно од-ной изолированной точки так, чтобы ГХ-расстояние до концевых метрических про-странств не изменилось. Другое важное наблюдение Борисовой: изолированную точку в промежуточном метрическом пространстве можно всегда расщепить на любое достаточно маленькое пространство, снова не меняя расстояния до концов. Эти идеи позволили Бо-рисовой показать, что, в отличие от R-сегмента, обычный метрический сегмент между неизометричными метрическими компактами сам компактом не является никогда. Что касается сегментов в классе Громова-Хаусдорфа, Борисова показала, что в случае, когда метрический сегмент содержит хотя бы одну внутреннюю, то этот сегмент “огро-мен” – он является собственным классом. Если же сегмент вырожден, т.е. не содержит внутренних точек, то он представляет собой множество. Также интересен вопрос: что можно сказать про концы метрического сегмента, если известна некоторая его внутренняя точка? Борисова показывает, что если эта внутренняя точка R-сегмента – компакт, то и концевые точки – тоже компакты. Более того, для про-извольных пространств Борисова вычислила плотность каждой внутренней точки R-сегмента через плотности его концов. Имеется еще ряд результатов, связанных с оценкой плотностей внутренних точек сегмента в случае произвольных метрических сегментов.
- Добавил в систему: Тужилин Алексей Августинович