|
ИСТИНА |
Войти в систему Регистрация |
ИСТИНА ИНХС РАН |
||
Различение метрических пространств функциями расстояния до 1-пространствдипломная работа (Специалист)
- Научный руководитель: Тужилин А.А.
- Автор: Лычагина Е.А.
- Тип: Специалист
- Организация, в которой проходила защита: МГУ имени М.В. Ломоносова
- Год защиты: 2022
- Аннотация: Дипломная работа Е.А.Лычагиной была мотивирована изучением возможности введения естественных «осей координат» в классе Громова-Хаусдорфа, т.е. возможности выбора такого «есте-ственного» подсемейства F этого класса, что каждые два метрических пространства на ненулевом расстоянии друг о друга имеют разные расстояния до некоторого элемента семейства F. Тем самым, «координатами» метрического пространства X являлись бы функции расстояния от X до элементов из F. Конечно, в качестве F можно взять весь класс Громова-Хаусдорфа, однако хотелось бы выбрать F наиболее маленьким и имеющим достаточно простую структуру. Одним из таких претендентов могло оказаться семейство «симплексов», т.е. метрических пространств с одним ненулевым расстоянием. Впрочем, в работе Иванова и Тужилина было показа-но, что функции расстояния до симплексов могут не различать даже некоторые конечные метриче-ские пространства. Отметим, что расстояния Громова-Хаусдорфа в настоящее время вычислены между очень ограниченным числом типов метрических пространств. Наиболее хорошо изучены рас-стояния до симплексов. Поэтому возникло желание разобраться, что же могут различать функции расстояния до симплексов. Например, могут ли эти расстояния отличить конечное пространство от бесконечного? Лычагина построила пример раздутия трехточечного пространства до бесконечного компак-та, которое неотличимо от исходного трехточечного пространства. Тем самым было показано, что расстояния до симплексов могут не отличать конечные пространства от бесконечных. Но можно ли как-то охарактеризовать пространства, отличимые с помощью расстояний до симплексов? Лычагина вводит понятие альфа-размерности, похожее по своей природе на хаусдорфову размерность, но отвечающую свойствам метрического пространства, связанным с геометрией его разбиений. Так, альфа-размерность конечного n-точечного метрического пространства равна n. Ока-зывается, альфа-размерность достаточно хорошо чувствует «различимость». А именно, Лычагина показывает, что метрические пространства разной альфа-размерности, одно из которых ограничено, всегда различимы. Тем не менее, пространства одинаковой альфа-размерности могут быть как не-различимыми, так и различимыми. Лычагина приводит многочисленные условия того и другого.
- Добавил в систему: Тужилин Алексей Августинович