Аннотация:В предыдущей курсовой работе О.Б.Борисова изучала метрические сегменты в пространстве Громова-Хаусдорфа. Напомним, что метрическим сегментом в произвольном метрическом пространстве называется множество всех точек пространства, расположенных между двумя данными. Борисова привела ряд примеров пар метрических компактов, для которых метрический сегмент некомпактен. Возникает ощущение, что некомпактность метрических сегментов имеется и в случае произвольных неизометричных метрических компактов. Задача оказалась достаточно сложной, и продвижение в ее решении затормозилось.
Отметим, что в пространстве Громова-Хаусдорфа, в силу его геодезичности, метрический сегмент между данными точками состоит из всех точек всех кратчайших кривых, соединяющих эти точки. Еще одной особенностью пространство Громова-Хаусдорфа является то, что кратчайшие кривые можно разделить на два класса: одни из них получаются из так называемых замкнутых оптимальных соответствий, а другие так не получаются. Кратчайшие кривые первого класса называются прямолинейными геодезическими, и если для заданных двух точек A и B собрать все точки всех прямолинейных геодезических, соединяющих A и B, то, как оказывается, получится уже компактное подмножество, которое мы решили назвать компактным сегментом.
Один из естественных вопросов в теории геодезических связан с изучением непрерывной зависимости геодезических от их граничных точек. Аналогичный вопрос был поставлен и для описанных выше сегментов в пространстве Громова-Хаусдорфа (теперь непрерывность рассматривается относительно метрики Хаусдорфа). Борисова сделала несколько начальных шагов в изучении этой проблемы. А именно, она показала, что семейство как R(A,B) всех соответствий между метрическими компактами A и B, так и семейство Rc(A,B) замкнутых соответствий между A и B, непрерывно зависят от A и B (соответствующие отображения являются липшицевыми).