Аннотация:В курсовой работе Д.\,Д.\,Казимиров рассмотрел предельные оценочные функции $A_{n,k,p}$ в неравенствах вида
$$
|f(a)|\leqslant A_{n,k,p}(a)\|f^{(n)}\|_{L_p[-1;1]}
$$
для функций $f\in\mathring{W}^n_p[-1;1]$ при $p\to 1$.
Если рассмотреть $g_n$ --- элемент пространства $L_p[-1;1]$, который задает непрерывный функционал $f\mapsto f(a)$, то справедливы оценки
$$
|f(a)|=\left|\int_{-1}^1 f^{(n)}(x)g_n(x)\,dx\right|\leqslant \|f^{(n)}\|_{L_p}\cdot \|g_n\|_{L_p'}б\quad
\frac1p+\frac{1}{p'}=1.
$$
Равенство достигается, если функция $f^{(n)}$ пропорциональна $|g_n(x)|^{p'}\sign g_n$. Ранее был известен вид сплайнов $g_n$ при $n=1,2,3$ и $p>1$. Более того, показано, что экстремальная функция обладает симметричностью, откуда в частности следует справедливость соотношения $\sup_{a\in(0;1)} |f(a)|=f(0)$.
При предельном переходе $p\to 1$ ($p'\to\infty$) возникает следующая задача: для каждого натурального $n$ найти полином $P_n$ степени $n-2$ и содержащий только слагаемые, четность степеней которых совпадает с четностью числа $(n-2)$. При этом для функции $q_n(x):=x^{n-1}$ величина
$$
\max_{[0;1]}|q_n(x)-P_n(x)|
$$
должна быть наименьшей.