ИСТИНА

Диссертационная работа относится к исследованиям интегрируемых гамильтоновых систем. Целью диссертации является топологическая классификация плоских и локально плоских интегрируемых биллиардов, ограниченных дугами софокусных квадрик. В диссертации получены следующие основные результаты. Классифицированы все компактные плоские области, ограниченные дугами софокусных эллипсов и гипербол. Классифицированы все обобщенные локально-плоские области, полученные из них склейками вдоль выпуклых эллиптических сегментов и некоторых выпуклых гиперболических сегментов, приводящих к образованию так называемых конических точек. Вычислены инварианты Фоменко-Цишанга - меченые молекулы, описывающие топологию слоения Лиувилля изоэнергетической 3-поверхности - для биллиардов в каждой из описанных областей. Вычислены инварианты Фоменко-Цишанга для биллиардов в компактных областях, ограниченных софокусными параболами, а также их некомпактные аналоги -- молекулы Фоменко (без меток) - для биллиардов в некомпактных областях, ограниченных софокусными параболами. Для локально-плоских биллиардов найдены слоения Лиувилля, которые эквивалентны ранее известным слоениям, возникшим в случаях интегрируемости Эйлера (все слоения), Лагранжа, Ковалевской, Ковалевской-Яхьи, Жуковского, Горячева-Чаплыгина-Сретенского, Клебша и Соколова, что означает лиувиллеву эквивалентность вышеперечисленных систем системе биллиарда при подходящем выборе обобщённой биллиардной области.