ИСТИНА

Цель работы 1) Получить достаточные условия экстремальной независимости дискретных случайных систем и применить этот результат для изучения экстремумов гауссовских систем и экстремальных характеристик случайных графов. 2) Исследовать понятие и условия существования экстремального индекса для случайных полей с дискретным временем и схем серий случайных величин и исследовать автоматическую процедуру его оценивания для стационарной последовательности. 3) Найти асимптотики вероятностей высоких экстремумов нестационарных гауссовских полей с непрерывным временем и евклидовых норм нестационарных гауссовских процессов с непрерывным временем в слабых предположениях на ковариационную функцию и дисперсию. 4) На основе современных методов математической статистики предложить общие методы оценивания параметров и проверки гипотез о хвостах распределений по экстремальным наблюдениям выборки, не зависящие от выполнения условий теоремы Гнеденко. Методы исследования. В работе используются классические и современные методы теории вероятностей и математической статистики, такие как теория сходимости в пространстве Скорохода, теория контигуальных мер, метод отношения правдоподобий, неравенства Прохорова и Фука-Нагаева, а также специальные методы теории экстремумов, такие как представление Реньи и теорема Смирнова, методы асимптотического анализа гауссовских процессов, такие как метод двойных сумм и лемма сравнения, и методы теории случайных графов. Основные результаты диссертации следующие. 1) Показано, что при выполнении условий типа D и D' Лидбеттера предельное распределение последовательности максимумов схемы серий зависимых случайных величин совпадает с предельным распределением последовательности максимумов схемы сопровождающих серий независимых случайных величин. Результат использован для доказательства теоремы Гнеденко для стационарных случайных полей на Z^d, для анализа экстремумов гауссовских систем и для изучения предельных распределений экстремальных характеристик случайных графов. 2) Найдены условия существования экстремального и хвостового индексов для последовательностей сумм и максимумов схемы серий зависимых случайных величин с доминирующим членом. 3) Доказано отличие понятий глобального экстремального индекса и экстремального индекса вдоль направлений для стационарных случайных полей на целочисленных решетках; для этой цели исследовано предельное распределение нормированного максимума стационарного гауссовского поля на Z^d при нарушении условия Бермана. 4) Доказана корректность автоматической процедуры оценивания экстремального индекса стационарной последовательности на основе произвольной оценки экстремального индекса, зависящей от одного гиперпараметра. 5) Найдены условия выполнения теоремы Гнеденко для диагональных и внедиагональных элементов эмпирической матрицы ковариаций стационарного субэкспоненциального случайного поля; для доказательства этого результата была получена асимптотика вероятности большого уклонения последовательности частичных сумм субэкспоненциальной стационарной последовательности. 6) Найдена асимптотика вероятности высокого экстремума нестационарного гауссовского поля и эвклидовой нормы гауссовского векторного процесса без предположений о степенном характере поведения ковариационной функции и дисперсии процесса. 7) Предложен первый общий метод оценивания одномерного параметра хвоста распределения, не зависящий от выполнения условий теоремы Гнеденко. %предложена его модификация, инвариантная относительно изменения параметра масштаба хвоста распределения. 8) Предложены оценки параметров сдвига и масштаба хвоста распределения из областей максимального притяжения Фреше и Гумбеля. 9) Предложен первый общий метод различения широких классов хвостов распределений, не зависящий от выполнения условий теоремы Гнеденко. 10) Предложены первые критерии согласия для хвостов распределений и доказана их состоятельность.