ИСТИНА

Диссертационная работа содержит результаты на стыке теории аппроксимации и геометрии. Рассматривается метод построения многомерных систем Хаара на основе специальных самоподобных компактов (тайлов). Данный подход активно развивался в литературе, начиная с 1990х, например, в работах Грёхенига, Мадича, Лагариса, Вонга. В первой главе подробно описано построение базисов Хаара на основе тайлов и указаны преимущества таких базисов по сравнению с классическими многомерными системами Хаара. Поскольку свойства базисных функций зависят от характеристик порождающих тайлов, последние также подробно исследованы в диссертации. Некоторые из результатов в этом направлении представляют также и независимый интерес. Рассмотрим множество G в R^d состоящее из точек вида x = \sum_ k=1 M−k∆k, где M – целочисленная растягивающая матрица, (т.е. все собственные значения по модулю больше 1), все вектора ∆k взяты из конечного множества «цифр» D ⊂ Z d . Множество цифр содержит | det M| элементов – по одному элементу из каждого класса смежности Z d/MZ d . Множество G называется аттрактором, порождённым матрицей M и системой цифр D. Известно, что каждый аттрактор является компактом, имеющим положительную целочисленную меру Лебега. Если эта мера равна 1, то множество G называется (целым) тайлом. Целые сдвиги тайла {G+k}k∈Zd покрывают пространство R d в один слой (т.е., с попарными пересечениями меры нуль). Можно сказать, что понятие тайла обобщает отрезок [0, 1] при переходе от двоичной системы счисления на прямой к «системе счисления» в R d с матричным основанием M. Глава 2 посвящена случаю, когда | det M| = 2, т.е. в построении тайла используется две цифры. Получающаяся таким образом «двухциферная» система Хаара будет наиболее близка по свойствам к классическому базису Хаара в L2(R). Мы рассматриваем задачу классификации двухциферных тайлов в R d с точностью до аффинного подобия. В некоторых случаях удаётся получить полную классификацию, в остальных мы оцениваем количество двухциферных тайлов. Последняя задача сводится к исследованию целых алгебраических приведённых многочленов степени d со свободным коэффициентом ±2, у которых все корни лежат вне единичного круга. При этом используются несколько результатов теории чисел. Также затронуты топологические и геометрические свойства 2-тайлов. Третья глава вводит в рассмотрение тайловые B-сплайны — свёртки нескольких характе- 4 ристических функций тайлов. Терминология унаследована от (классических) кардинальных B-сплайнов, которые являются свёртками характеристических функций отрезков. Тайловые B-сплайны, вообще говоря, не являются кусочно-полиномиальными, однако, как и тайлы, являются решениями так называемых масштабирующих уравнений (разностных уравнений со сжатием аргумента), что объясняет их приложения в теории всплесков и в геометрическом моделировании поверхностей (в частности, в так называемых алгоритмах SubD — алгоритмах детализации поверхностей). В диссертации строятся тайловые системы всплесков в L2(R d ), а также новые алгоритмы SubD, основанных на тайловых B-сплайнах. Довольно неожиданно, некоторые из тайловых B-сплайнов обладают большей гладкостью, чем классические сплайны того же порядка. Глава 4 содержит исследование полиэдрального случая, когда тайлы являются не фрактальными множествами, а объединением нескольких выпуклых многогранников. Данная геометрическая задача имеет нетривиальное решение, а классификация полиэдральных тайлов использует арифметические прогрессии специального вида. Тем самым, охарактеризованы базисы Хаара в R^d с полиэдральными носителями