ИСТИНА

В диссертации изучены структурные, геометрически-топологические характеристики солнц и чебышёвских множеств в банаховых пространствах (в~частности, связность и выпуклость). Понятие солнца, которое было введено Н.В.Ефимовым и С.Б.Стечкиным в 1950-х годах при исследовании чебышевских множеств, тесно связано со свойством характеризации элементов наилучшего приближения -- условием Колмогорова. Поэтому изучение солнц в классических (негладких) пространствах приобретает особенно важное значение. Получены как прямые теоремы геометрической теории приближений, в которых из структурных характеристик множеств выводят их аппроксимативные свойства, так и обратные теоремы, в которых из аппроксимативных свойств выводятся структурные характеристики. Основной целью работы является решение ряда открытых давно стоящих задач геометрической теории приближений и геометрии линейных нормированных и несимметрично нормированных пространств. Решены следующие задачи: - впервые дано описание в геометрических терминах чебышёвских множеств в пространстве $\ell^\infty(n)$ (задача B.\,M.~Тихомирова--X.~Беренса); - установлена солнечность монотонно связных чебышёвских множеств в произвольных линейно нормированных пространствах -- там самым впервые получен результат, утверждающий, что из некоторой формы связности множества вытекают такие сильные свойства характеризации элементов наилучшего приближения. - доказано новое свойство универсальности пространства непрерывных функций $C[0,1]$ для линейных несимметрично нормированных пространств и пространств с несимметричной метрикой. - впервые найдено бесконечномерное пространство, не являющееся неквадратным, в котором всякое солнце связно (и, более того, монотонно линейно связно) --- до этого связность солнц в конкретных и абстрактных пространствах удавалось доказать в случае компактности солнц или требования неквадратности пространства. Введенное в диссертации понятие монотонно линейно связного множества позволило найти новые методы изучения ряда классических объектов.