Жеглов Александр Борисович

Описание курса

Существуют две классические проблемы, связанные с интегрируемыми системами, которые появились и изучались уже в начале 20-го века: как явно построить пару коммутирующих дифференциальных операторов и как классифицировать все коммутативные подалгебры дифференциальных операторов. Обе проблемы имеют обширные связи со многими разделами современной математики, прежде всего с интегрируемыми системами, так как явные примеры коммутирующих операторов дают явные решения многих нелинейных частных уравнения уравнения. Теория коммутирующих дифференциальных операторов далека от завершения, но она хорошо развита для коммутирующих обыкновенных дифференциальных операторов. 

Цель курса "Алгебра, геометрия и анализ коммутирующих обыкновенных дифференциальных операторов" --- знакомство с основными идеями и конструкциями из алгебры, коммутативной алгебры, алгебраической и комплексной геометрии и анализа, необходимых для понимания теории коммутирующих обыкновенных дифференциальных операторов, а также обзор связанных с этой теорией открытых проблем
из алгебры, алгебраической геометрии и комплексного анализа. Одна из задач курса --- предложить новые
задачи для исследования. 


Программа курса "Алгебра, геометрия и анализ коммутирующих обыкновенных дифференциальных операторов" 

1. Основные алгебраические свойства кольца обыкновенных дифференциальных операторов. Алгоритм Евклида, нормирования, эндоморфизмы и автоморфизмы.


2. Псевдо-дифференциальные операторы и теория Шура. 

3. Необходимые факты и конструкции из коммутативной алгебры: факториальные кольца, теорема о результанте, алгебраическая зависимость, базис трансцендентности, размерность Крулля. 

4. Нетеровы кольца и теорема Гильберта о базисе. Конечная порожденность коммутативных подколец обыкновенных дифференциальных операторов. Лемма Бурхналла-Чаунди. Аффинная спектральная кривая и спектральный модуль. 

5. Целые расширения. Лемма Нетер о нормализации. Теорема Гильберта о нулях. 

6. Локализации колец, локальные кольца, кольца нормирования. Категория аффинных многообразий.

7. Особые и регулярные точки алгебраических многообразий. Теорема Зарисского. Регулярные точки над незамкнутыми полями. 

8. Аффинные спектральные данные кольца коммутирующих дифференциальных операторов. Пучки модулей. Спектральный пучок. 

9. Геометрический и аналитический смысл спектрального пучка. 

10. Градуированные кольца и их локализации. Категория проективных многообразий. 

11. Локально свободные пучки и векторные расслоения. Якобианы кривых. Пространства модулей пучков без кручения на кривых. 

12. Проективные спектральные данные. Соответствие Кричевера. Теорема классификации коммутативных колец ОДО (алгебраическая версия).

13. Элементы теории Сато. 

14. Аналитическая теория коммутирующих ОДО: функция Бейкера-Ахиезера, теорема классификации коммутативных колец ОДО (аналитическая версия). 

15. Точные формулы: тэта-функции, формулы Кричевера. 

16. Точные формулы: грассманиан Сато, формулы Вилсона.