Эмпирическая верификация, восстановление и коррекция субъективной модели исследуемого объекта в теории измерительно-вычислительных преобразователей

Балакин Д.А., Пытьев Ю.П., д.ф.‑м.н., проф.
МГУ им. М.В. Ломоносова, г. Москва
E-mail: yuri.pytyev@physics.msu.ru

В процессе измерения в результате взаимодействия измеряемого объекта, среды и измерительного преобразователя (ИП)[1] на входе ИП формируется (измеряемый) сигнал , несущий информацию об измеряемом объекте и среде. ИП преобразует f в сигнал , где  — линейный оператор, моделирующий физические процессы в ИП, взаимодействующем с измеряемым объектом и со средой, определяющие преобразование воздействия  в сигнал ,  — ошибка измерения, шум.
Как известно [1], такие широко распространенные методы обработки результатов измерений, как метод наименьших квадратов (МНК), метод максимальной энтропии и др., в которых решение находится путем минимизации функционала, не имеющего прямого отношения к погрешности интерпретации измерения, не гарантируют максимальную точность результата обработки как оценки интересующей исследователя величины и поэтому не могут ни реализовать максимальную точность измерительно-вычислительного преобразователя как средства измерений, ни позволяют определить параметры ИП, при которых эти возможности достигаются. ИВП — комплекс, состоящий из ИП, производящего измерения, и вычислительного преобразователя, обрабатывающего их результаты, рассматриваемый как единое средство измерения. Более того, если метод «обработки результатов измерений» позволяет оценить погрешность интерпретации, то именно погрешность интерпретации (не оцененную апостериори, а определенную априори и описывающую качество интерпретации) и следует минимизировать. Например, при измерении по вышеуказанной схеме простейший вариант МНК предписывает определять оценку измеренного значения  как , удовлетворяющее условию , не имеющего прямого отношения к точности определения  как оценки . Кроме того, результат измерения зависит от характеристики измеряемого объекта, взаимодействующего с ИП, которая может быть существенно искажена этим взаимодействием, а исследователя интересует характеристика исследуемого объекта, не возмущенного измерением.
В методе редукции измерения [1] дополнительно задан идеальный ИП, моделируемый оператором , на вход которого поступает тот же сигнал, что и на вход реального ИП, но на его выходе сигнал  равен значениям характеристик исследуемого, а не измеряемого, объекта, что недоступно для МНК. Как правило, идеальный ИП не может быть реализован «в железе» из-за физических ограничений. Однако вычислительный преобразователь, преобразующий выходной сигнал ИП в выходной сигнал ИВП, представляющий наиболее точную версию , ограничен лишь математическими законами и позволяет реализовать редукцию измерения «за физический предел».
Задача редукции состоит в нахождении решающего оператора (редукции) , для которого  — наиболее точная оценка величины .
Если входной сигнал  — произвольный вектор евклидова пространства , а  — случайный вектор евклидова пространства , имеющий математическое ожидание  и известный ковариационный оператор : : , то ошибка интерпретации [1]  как оценки  есть , и она минимальна при  (где  обозначает оператор, псевдообратный к ), если , и равна бесконечности, если это условие не выполнено, и сигнал  (а тем более ) невозможно оценить по . При этом в случае  методом наименьших квадратов , а, следовательно, и , оценить невозможно.
Наличие априорной информации об интересующей исследователя характеристике  позволяет уменьшить погрешность интерпретации данных. «Источником» такой информации может быть сам исследователь. Но математическая модель такой (субъективной) информации должна характеризовать ее неизбежную неполноту и недостоверность, а, следовательно, должна допускать эмпирическую проверку адекватности модели объекта исследования, построенной с учетом этой информации, цели исследования и позволять эмпирическую ее коррекцию.
В докладе рассмотрены методы эмпирической верификации и эмпирического восстановления [2, 3] предложенной модельером-исследователем (м.‑и.) модели (его) субъективных суждений о характеристике исследуемого объекта, заданной пространством  с мерами правдоподобия  и доверия , определяющим его диалог с моделью исследуемого объекта. Если ошибка измерения является стохастической, модель измерения объекта — описывающее схему измерения  вероятностное пространство . Кроме того, исследователь задает модель идеального ИП как линейный оператор .
Неопределённый элемент (н.э.)  моделирует  неизвестную характеристику объекта исследования , меры  и  характеризуют модальности субъективных суждений м.‑и. об истинности каждого  значениями  и , причем численные значения мер, отличные от 0 и 1, не имеют содержательной интерпретации, а важна лишь их упорядоченность.
Если м.‑и. оказались доступны данные на выходе ИВП, которые можно интерпретировать как данные наблюдений за исследуемым объектом, он может использовать их как для эмпирического построения модели пространства , так и для оценки  адекватности субъективной цели исследования. Источником исходной модели пространства  могут, например, быть результаты измерений на другом ИП с другим  и по-другому искажающем входной сигнал , в силу чего  и , но , поскольку исследователя интересует одна и та же характеристика исследуемого объекта.
При вероятностной модели измерения в таком случае м.-и. для каждого возможного значения параметра  формулирует статистическую задачу проверки гипотезы  против класса  альтернативных  гипотез о возможных, отличных от , значениях , например, против , где  — неизвестное значение параметра вероятности, контролировавшей данные наблюдений. В докладе рассмотрены методы эмпирического построения модели , основанные на данных измерений и на формализме оценивающих множеств максимального правдоподобия и эмпирическое оценивание правдоподобия согласия субъективной модели м.-и. и данных измерений.
М.‑и. может для каждой вероятности  принятия гипотезы  определить следующие параметрические множества: множество элементарных событий , при которых принимается , и  множество  тех , при которых принимается  при данном результате наблюдения, если  и в самом деле верна, в частности,  — непосредственно как оценивающее параметр   множество максимального правдоподобия.
Свойства  и  позволяют м.-и. оценивать неизвестный параметр  значениями случайного (зависящего от данных наблюдений) н.э. и считать его эмпирической оценкой н.э. , определяющего меры  и . Соответственно случайный н.э. определяет случайные меры ,  и пространство  как эмпирическую (статистическую) модель его субъективных суждений о возможных значениях неизвестного параметра  вероятности, контролировавшей данные наблюдений. Поскольку для восстановления, например, меры  важна только упорядоченность её значений, то:
 1.	Чем больше минимальная вероятность , при которой гипотеза  принимается, тем менее правдоподобно значение ;
 2.	Чем больше максимальная вероятность , при которой гипотеза  отвергается, тем менее правдоподобно значение .
В докладе показано, что эти замечания определяют статистическую модель случайного н.э. вариантами случайных распределений правдоподобий его значений.
М.‑и. может использовать случайный н.э. для анализа состоятельности своей модели н.э. , оценивая максимальную вероятность получить либо результаты наблюдений, ожидаемые при наиболее правдоподобном значении параметра, либо — еще более отклоняющиеся от фактически полученных. Если она мала, то субъективная модель н.э. плохо согласуется с его статистической оценкой. В противном случае м.-и. может использовать последнюю для коррекции своей модели, применив методы построения «коллективной экспертизы», рассмотренные в [3, §3.9].
Судить о том, насколько предложенная м.‑и. модель н.э. согласуется с данными наблюдений, следует, не обращаясь к случайному н.э. Чем больше минимальная вероятность покрытия данных наблюдений неопределенным множеством , при которой правдоподобие покрытия равно единице, тем значительнее наблюдения свидетельствует против субъективной модели н. э. Поэтому случайное правдоподобие истинности неопределенного высказывания «модель н.э.  согласуется с данными наблюдений» определяется этой минимальной вероятностью.
В случае, если верифицируемая или корректируемая субъективная модель основана на результатах измерений на другом ИП, можно также непосредственно осуществить совместную редукцию, использовать новый результат измерения как доступный результат наблюдения за исследуемым объектом или использовать его для редукции и для проверки субъективной модели.
Преимущества представленных методов эмпирической проверки адекватности и эмпирической коррекции модели субъективных суждений: в отличие от байесовского подхода, рассмотренного в [4, 5], для эмпирического оценивания не необходимо указывать неинформативное распределение вероятностей, в отличие от теории Демпстера-Шеффера [6, 7], способ эмпирического оценивания не зависит от правила построения совокупной оценки (комбинирующей результаты нескольких серий наблюдений).
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, проект 14-07-00441.
Литература
[1] Пытьев Ю. П. Методы математического моделирования измерительно-вычислительных систем. — 3 изд. — М.: Физматлит, 2012.
[2] Пытьев Ю. П. Математическое моделирование субъективных суждений модельера-исследователя о модели объекта исследования // Математическое моделирование. — 2013. — Т. 25, № 4. — С. 102-125. — doi: 10.1134/S2070048213060094.
[3] Пытьев Ю. П. Возможность как альтернатива вероятности. — 2‑е издание, переработанное и дополненное. — М.: Физматлит, 2015.
[4] Probabilistic Networks and Expert Systems / R. G. Cowell, A. P. Dawid, S. L. Lauritzen, D. J. Spiegelhalter. — Springer-Verlag, 1999.
[5] Тулупьев А. Л., Николенко С. И., Сироткин А. В. Байесовские сети: Логико-вероятностный подход. — СПб.: Наука, 2006.
[6] Shafer G. A Mathematical Theory of Evidence. — Princeton University Press, 1976.
[7] Kłopotek M. A., Wierzchoń S. T. Empirical Models for the Dempster-Shafer-Theory // Belief Functions in Business Decisions / Ed. by R. P. Srivastava, T. J. Mock. — Heidelberg: Physica-Verlag HD, 2002. — Vol. 88 of Studies in Fuzziness and Soft Computing. — P. 62-112.