ИСТИНА

ассматривается задача минимизации функционала, равного норме невязки операторного уравнения, в гильбертовых пространствах, причём разрешимости от уравнения не требуется. Предполагается, что в исходном уравнении оператор и правая часть заданы с некоторой погрешностью, при уменьшении которой приближённый оператор сходится к точному лишь поточечно, а равномерная близость соответствующих им приближённой и точной невязки отсутствует. Это делает неприменимыми к устойчивому решению рассматриваемой задачи многие классические методы регуляризации такие как метод А.Н. Тихонова, невязки, итерационные методы и другие. Из-за того, что также не предполагается известной априорная информация об искомом решении, неприменимыми оказываются также методы, использующие её: метод квазирешений В.К. Иванова, методы, использующие погрешность задания значения оператора на образе искомого решения, и другие. В то же время задачи, для которых перечисленная выше априорная информация недоступна, встречаются нередко, а применение классических методов становится затруднительным. К таким задачам относятся, например, обратные задач для уравнений в частных производных, имеющих как теоретический, так и практический интерес. В связи с этим приобретает актуальность задача развития методов, использующих априорную информацию, отличную от классической. В данном проекте в качестве неё предлагается использовать две оценки близости приближённого оператора к точному в двух парах пространств, отличных от исходных, но связанных с ними компактными вложениями. Планируется обобщить некоторые классические методы регуляризации типа метода А.Н. Тихонова для случая наличия оценок такого вида и применить их к решению задач граничного управления и многокритериальной оптимизации для задач управления волновым уравнением и уравнением Эйлера-Бернулли. Значимость планируемых обобщений состоит в их универсальности и применимости к задачам, для решения которых часто используются узкоориентированные и трудоёмкие приёмы, такие как коррекция разностной схемы.

In our work we consider the problem of minimizing a functional that is equal to the norm of the discrepancy of the operator equation in Hilbert spaces. The solvability of the equation mentioned above is not required. It is assumed that the operator and the right-hand side in the initial equation are given with a certain error, and the approximate operator converges to the exact one only pointwise, and there is no uniform convergence of the approximate operator to the exact one. In that case it become impossible to use classical regularization methods to find the solution of the problem. At the same time, problems for which the a priori information listed above is not available are often encountered. Such problems include, for example, inverse problems for partial differential equations having both theoretical and practical interest. That is why the developing methods using a priori information different from the classical one are relevant. In this project, it is proposed to use two error estimates of an approximate operator in two pairs of spaces different from the initial ones, but connected with them by compact embeddings. It is planned to generalize some classical regularization methods such as A.N. Tikhonov-type methods for the case of the presence of estimates of this kind and apply them to the solution of the problems of boundary control and multicriteria optimization for control problems of the wave equation and the Euler-Bernoulli equation. The significance of the planned generalizations lies in their universality and applicability to problems which needs for their solutions narrowly oriented and laborious methods, such as correction of the difference scheme.

Будут получены новые априорные оценки погрешности приближения решения краевой задачи с помощью разностной схемы для волнового уравнения и уравнения Эйлера-Бернулли в случае неоднородных краевых условий. Планируется выступить с докладом, посвящённым получению априорных оценок для рассматриваемых уравнений в частных производных (Л.А. Артемьева, А.А. Дряженков). О получении этих оценок планируется написать объединённую статью (Л.А. Артемьева, А.А. Дряженков).

По теме применения регуляризованного экстраградиентного метода для решения многокритериальных задач оптимального управления Л.А. Артемьевой опубликована статья (Ф.П. Васильев, М.М. Потапов, Л.А. Артемьева. Регуляризованный экстраградиентный метод в многокритериальных задачах управления с неточными данными // Дифференциальные уравнения.2016. Т. 52, № 11. С. 1555 -- 1567), в которой обосновывается возможность его использования для решения многокритериальных задач и, в качестве примера, приводится многокритериальная задача управления волновыми процессами

Планируется получить указанные оценки равномерной близости в парах пространств, отличных от исходной, для задач граничного управления волновым уравнением и уравнением Эйлера-Бернулли.