ИСТИНА

Цель НИР - это проведение фундаментальных исследований в области разработки методов и алгоритмов по следующим основным направлениям. 1. Построение новых разностных схем для дифференциальных уравнений с дробными производными. Актуальность - такие уравнения описывают процессы в реальных неоднородных средах. Научная значимость - новый подход к построению схем требуемого порядка аппроксимации и к анализу их устойчивости. 2. Разработка новых математических моделей для обратных задач с подвижными фазовыми границами. Актуальность - такие задачи возникают во многих областях, например в теплофизике и механике сплошных сред с фазовыми переходами. Научная значимость - новые подходы к доказательству теорем существования и единственности решений на основе принципа двойственности. 3. Разработка нового численного метода решения обыкновенных дифференциальных уравнений на основе аппроксимаций многочленами наилучшего равномерного приближения. Актуальность - метод предназначен для выполнения высокоточных вычислений для многих прикладных задач, например для задач небесной механики или спутниковой навигации. Научная значимость - применяемый подход позволяет добиться значительного превосходства перед традиционными методами по вычислительным затратам. 4. Разработка новых инструментальных средств для автоматизированного представления программ решения задач вычислительной математики с исходного языка программирования на других языках программирования. Актуальность - такой подход позволяет значительно упростить перенос программного обеспечения на различные вычислительные платформы. Научная значимость - инструментарий основан на контекстно-управляемых преобразованиях текстовой информации.

The aim of this research work is to perform fundamental studies in the field of development of numerical methods and algorithms to the following main directions. 1. The construction of new difference schemes for fractional differential equations. The actuality of this direction is based on the fact that such equations describe the various processes in anisotropic media. The scientific importance: a new approach is proposed to develop difference schemes of a required approximation order and to analyze their stability. 2. The development of new mathematical models for inverse poblems with moving phase boundaries. The actuality is based on the fact that such problems arise in many research fields, for example, in thermophysics and in continuum mechanics with phase transitions. The scientific importance: a new approach is proposed to prove the existence and uniqueness of solutions on the basis of the duality principle. 3. The development of a new numerical method for solving ordinary differential equations on the basis of polynomial of best uniform approximation. The actuality: the method is intended to perform high-precision computations for many applied problems, for example, in the field of celestial mechanics and sattelite navigation. The scientific importance: a new approach is allows one to achieve significant advantages over the traditional methods in terms of computational cost. 4. The development of new programming tools for automated representation of numerical software from the original programming language to other programming languages. The actuality: such a approach allows one to significantly simplify the portability of numerical software among various computing platforms. The scientific importance: the developed tools are based on context-driven transformations of text information.

1. Условия устойчивости и согласованности разностных схем при аппроксимации дробных эволюционных уравнений. Аппроксимация полулинейных эволюционных задач на основе общей дискретизационной схемы. 2. Развитие теории обратных параболических задач со свободными границами и с фазовыми переходами. 3. Обобщение численно-аналитического метода решения обыкновенных дифференциальных уравнений для случая быстрорастущих решений. Аналитическое представление решений на заданном отрезке в виде быстро сходящихся рядов Чебышева. 4. Инструментальные контекстно-управляемых преобразования текстов программ и их применение для автоматизированной генерации руководства по использованию Библиотеки численного анализа НИВЦ МГУ в версии для языка программирования Паскаль.

Последние годы характеризуются интенсификацией исследований по созданию и развитию численных методов и алгоритмов решения задач вычислительной математики, а также по их программной реализации в виде комплексов программ для последующего применения в приложениях. Эффективность применения вычислительной техники в учебном процессе, в научных исследованиях и в других сферах деятельности существенно зависит от того, насколько полно и доступны пользователям ЭВМ адекватные программные средства решения типовых математических и специализированных прикладных задач. Актуальны вопросы организации свободного доступа в рамках сети Интернет к результатам научных исследований, исходным текстам программ, научным публикациям, учебно-методическим материалам, инструментальным программным средствам - все эти компоненты в совокупности образуют научно-образовательные и информационно-вычислительные ресурсы. Особую важность имеет теория некорректных задач, связанная с разнообразными прикладными проблемами, такими как интерпретация показаний физических измерительных приборов, геофизических, геологических, астрономических наблюдений, оптимальное управление, исследование структуры химических элементов и их соединений и многие другие. Различные разделы теории некорректных задач относятся к традиционным разделам численного анализа, таким как теория функций и их приближений, функциональный анализ, обыкновенные дифференциальные уравнения, уравнения в частных производных, линейная алгебра и др. К настоящему времени в НИВЦ МГУ получены важные теоретические результаты по решению таких классов задач, нашедшие отражение в большом числе научных публикаций. Выполнен значительный объем работ по программной реализации методов решения задач численного анализа на нескольких алгоритмических языках. Реализованные программные средства и методические материалы помещены в состав Научно-образовательного ресурса НИВЦ МГУ по численному анализу и находятся в свободном доступе в Интернет.

При выполнении этапа 1 предполагается получить следующие основные итоговые результаты. 1. Для обратных задач с фазовыми переходами, в частности для обратных задачи Стефана, будут обоснованы постановки этих задач в классах Гельдера соответствующих математических моделей. 2. Предполагается установить связь проблемы единственности для коэффициентных обратных задач Стефана со свойствами плотности решений соответствующих сопряженных задач на основе принципа двойственности 3. Будет выполнен анализ устойчивости явных и неявных разностных схем при аппроксимации дробных уравнений в общем банаховом пространстве 4. Предполагается разработать алгоритм решения обыкновенных дифференциальных уравнений методом рядов Чебышева с автоматическим выбором разбиения интервала интегрирования. 5. Будут разработаны и включены в состав инструментального комплекса TeConv новые программные средства преобразования текстовой информации. 6. Будут продолжены работы по развитию и сопровождению Библиотеки численного анализа НИВЦ МГУ