Фундаментальная механика композиционных материалов и других неоднородных средНИР

Fundamental mechanics of composite materials and other heterogeneous media

Источник финансирования НИР

госбюджет, раздел 0110 (для тем по госзаданию)

Этапы НИР

# Сроки Название
1 1 января 2021 г.-31 декабря 2021 г. Фундаментальная механика композиционных материалов и других неоднородных сред
Результаты этапа: Используя основные рекуррентные формулы для многочленов Чебышева второго рода, было получено несколько дополнительных соотношений, которые играют важную роль в построении различных вариантов теории тонких тел. Также определяются моменты тензорных функций, а также моменты их производных и моменты повторных производных. Найдены моменты k-го порядка некоторых выражений относительно многочленов Чебышева. Приведены представления уравнений движения относительно контравариантных составляющих тензоров напряжений и моментных напряжений, уравнения притока тепла, определяющих соотношений микрополярной теории и закона теплопроводности Фурье приближения порядка s. Из них легко получить соответствующие соотношения в моментах относительно систем многочленов Чебышева и Лежандра. В качестве частного случая выписаны уравнения движения нулевого и первого приближений в моментах относительно контравариантных составляющих тензоров напряжений и моментных напряжений, а также приведены системы уравнений в перемещениях нулевого и первого приближений в моментах для неизотермических процессов для любого анизотропного материала. Мы изучаем некоторые свойства решений бигармонических задач. А именно, мы изучаем краевые задачи Навье и Неймана для бигармонического уравнения. Для решения этих бигармонических задач нам необходимо решить краевые задачи Дирихле и Коши для уравнения Пуассона с использованием модели рассеяния. Чтобы выбрать подходящие решения, мы решаем уравнение Пуассона с соответствующими граничными условиями, то есть некоторая функция критерия минимизируется в нормах Соболева. При соответствующих допущениях гладкости эти задачи могут быть переформулированы как краевые задачи для бигармонического уравнения. Результаты этой работы используются для изучения математических задач в механических моделях с использованием вычислительных подходов, в частности, их применения в передовых технологиях аэрокосмической и машиностроительной промышленности, а также в достижениях в области материаловедения. Рассмотрены некоторые вопросы новой параметризации для областей трехмерных тонких тел, а также приведены некоторые геометрические характеристики параметризации. Сформулированы постановки начально-краевых задач трехмерных линейных классических и микрополярных теорий вязкоупругих тел, на основе которых сформулированы соответствующие постановки начально-краевых задач трехмерных линейных классических и микрополярных теорий вязкоупругих тонких тел при новой параметризации их областей. Из последних постановок, в свою очередь, получены постановки начально-краевых задач в моментах относительно систем ортогональных многочленов и, в частности, относительно системы многочленов Лежандра. Постановки начально-краевых задач рассматриваются также в случае классических теорий относительно вектора перемещений и в случае микрополярных теорий относительно векторов перемещений и вращений. Определяющих соотношений тел записываются с помощью тензорных и тензорно-блочных матриц, а также с помощью канонических представлений этих тензорных объектов. Кроме того, статические граничные условия и уравнения движения и равновесия представлены дифференциальными тензорными операторами в случае классической теории и дифференциальными тензорно-блочными матричными операторами в случае микрополярной теории. Построены тензорные операторы кофакторов для тензорных операторов уравнений движения и равновесия и тензорные операторы напряжений, которые позволяют решать проблемы декомпозиции начально-краевых задач линейной классической и микрополярной теорий вязкоупругих тел. Следует отметить, что все вышесказанное легко применимо к теориям других реологических тел, включая повторно-градиентных тел. Построена микрополярная теория многослойных тонких тел с использованием систем ортогональных многочленов. Отметим, что любую задачу теории тонкого тела можно рассматривать (решать) в трехмерной постановке, которая более точна по сравнению с двумерной. Однако не всегда удается реализовать этот подход на практике из-за высокой сложности решения трехмерных задач и необходимости большого разнообразия постановок задач. В связи со сказанным выше и с широким использованием тонких тел (одно-, двух-, трех- и многослойных конструкций) возникает необходимость создания новых уточненных теорий тонких тел в рамках классической теории, а также микрополярная теории и усовершенствованных методов их расчета. Поэтому построение уточненных теорий тонких тел и разработка эффективных методов их расчета являются важными и актуальными задачами. Отметим, что аналитический метод с использованием ортогональных полиномиальных систем (Лежандра и Чебышева) при построении однослойной и многослойной теории тонких тел применялся и другими авторами. В этом направлении авторами опубликованы работы и другие с применением систем полиномов Лежандра и Чебышева. Эти разложения можно успешно использовать при построении любой теории тонкого тела. Несмотря на это, классические теории, построенные этим методом, далеки от завершения, тем более микрополярные теории и теории других реологий. Исследованы свойства построенного ранее точного решения задачи о ползучести полого цилиндра из однородного изотропного нелинейно-вязкоупругого материала, подчиняющегося определяющему соотношению Ю.Н. Работнова с двумя произвольными материальными функциями, под действием постоянных давлений на его боковых поверхностях и нулевых касательных напряжениях на его основаниях. В предположениях о несжимаемости материала и плоской деформации поля напряжений и деформаций цилиндра выражены через интегральные операторы от материальных функций определяющего соотношения и от монотонно возрастающей функции времени, которая находится в результате решения полученного функционального уравнения, зависящего от материальных функций, отношения радиусов цилиндра и разности давлений. Аналитически изучены свойства этого функционального уравнения и свойства зависимостей напряжений и деформаций от времени и радиальной координаты. Получены достаточные условия убывания, возрастания и немонотонности эпюр напряжений по радиальной координате. Доказан критерий постоянства напряжений во времени при нагружении цилиндра постоянными давлениями, и показано, что он выполнен для степенных функций нелинейности, но не выполнен для бистепенных функций нелинейности (сумм степенных). Показано, что для произвольной функции нелинейности графики модуля интенсивности деформаций и компонент перемещений и деформаций в фиксированной точке цилиндра в зависимости от времени (кривые ползучести), уже не обязаны быть выпуклыми вверх, как для линейно вязкоупругого материла: установлена способность нелинейного ОС Работнова моделировать кривые ползучести с точкой перегиба и участком выпуклости вниз (участком разупрочнения). Выполнены расчеты и построены графики, иллюстрирующие обнаруженные свойства. Построено и исследовано точное решение задачи о ползучести и длительной прочности толстостенной трубы, состоящей из нескольких слоев нелинейно вязкоупругих изотропных материалов (полимеров, дисперсно наполненных композитов, металлов и сплавов), каждый из которых подчиняется определяющему соотношению Работнова с разными парами произвольных материальных функций и постулату несжимаемости, при нагружении давлениями на внутренней и внешней поверхностях трубы и задании нулевого осевого перемещения на торцах трубы. Деформации и напряжения в любой точке трубы в любой момент времени выражены явными формулами (содержащими интегральные операторы) через одну функцию времени, которая находится из нелинейного интегрального уравнения, зависящего от материальных функций слоев трубы, их относительных толщин и заданных на границах трубы давлений. На их основе выведено уравнение для времени разрушения трубы при ползучести для трех вариантов деформационного критерия разрушения: за меру поврежденности принята максимальная деформация растяжения в каждом слое трубы или величина интенсивности деформаций или максимальная деформация сдвига. Указан слой, в котором произойдет разрушение в зависимости от заданных предельных значений деформации слоев и их относительных толщин, найдена простая расчетная характеристика трубы, которую следует повышать при проектировании слоев трубы, чтобы повысить ее длительную прочность. Для модели многослойной трубы с пропорциональными друг другу функциями сдвиговой релаксации материалов слоев и со степенной функцией нелинейности (с любым показателем) построено точное решение ключевого интегрального уравнения, вычислены все интегральные операторы и выведены простые алгебраические формулы для деформаций и напряжений в любой точке трубы в любой момент времени и для времени разрушения трубы при ползучести через заданные давления, показатель функции нелинейности, (произвольную) опорную функцию релаксации слоев, их модули сдвига, относительные толщины и предельные значения деформации для каждого слоя. Выведены уравнения кривых длительной прочности для трех вариантов деформационного критерия разрушения, аналитически исследованы их свойства. Доказано, что они убывают и выпуклы вниз, что их форма определяется в основном функцией ползучести материалов слоев и слабо зависят от материальной функции, задающей нелинейность, и от отношения радиусов слоев трубы (хотя от них и зависят время разрушения и слой, в котором оно произойдет), поскольку они влияют только на коэффициент, вызывающий растяжение кривой длительной прочности вдоль оси давления.
2 1 января 2022 г.-31 декабря 2022 г. Фундаментальная механика композиционных материалов и других неоднородных сред
Результаты этапа: В результате выполнения годового этапа были получены: 1. Рассмотрена первая специальная краевая задача механики деформируемого твердого тела для вычисления эффективных определяющих соотношений, позволяющих выразить средние по объёму тела напряжения через средние деформации в случае неупругого неоднородного материала. Деформации предполагались малыми. На всей границе тела задавались перемещения специального вида, такие что средние значения от деформаций в теле определяются через граничные перемещения независимо от типа определяющих соотношений. Предполагалось, что в начале процесса деформации тело ведёт себя упруго. В дальнейшем определяющие соотношения представлялись в виде разности между упругой и неупругой составляющими. Такое поведение характерно для линейных и нелинейных вязкоупругих материалов, а также для упруго пластических материалов. Первая специальная краевая задача сводилась к серии вспомогательных краевых задач для функций, зависящих от формы тела и вида определяющих соотношений. В случае неоднородного по толщине слоя проблема вычисления эффективных соотношений сведена к операторному уравнению, для решения которого предложен итерационный метод последовательных приближений. Получена приближенная аналитическая формула, позволяющая достаточно просто находить эффективные определяющие соотношения слоистого композита по известным неупругим определяющим соотношениям его компонентов. Приближенная формула отражает характер структурной анизотропии слоистого композита и в упругом случае дает точные значения эффективных модулей упругости. 2. Предлагается вариационная модель гидродинамики Бринкмана, учитывающая поверхностные взаимодействия, за счет модификации и динамического лагранжиана, и неинтегрируемой вариационной формы -диссипативного канала. В результате построена замкнутая обобщенная вариационная модель Бринкмана. Представлена математическая модель гидродинамики, включающая уравнения движения, граничные условия и начальные условия. Предложена вариационная модель связной градиентной термоупругости и теплопроводности, основанный на использовании обобщенной модели сред с полями дефектов- дилатаций. Считается, что масштабные эффекты полей деформаций и температурных полей характеризуются различными масштабными параметрами. 3. Из сформулированных вариационных принципов Лагранжа, Кастильяно, обобщенных вариационных принципов типа Рейсснера, а также принципа виртуальной работы и принципа дополнительной виртуальной работы трехмерной микрополярной механики твердых тел произвольной реологии выведены соответствующие теориям однослойных и многослойных тонких тел вариационные принципы при новой параметризации областей этих тонких тел. Далее, применяя метод ортогональных полиномов, из упомянутых выше обобщенных вариационных принципов типа Рейсснера выведены вариационные принципы типа Рейсснера микрополярной механики твердых однослойных и многослойных тонких тел с одним малым размером при новой параметризации областей этих тел в моментах относительно системы полиномов Лежандра. При этом в случае теории многослойных тонких тел дано представление обобщенного оператора типа Рейсснера и сформулирован обобщенный вариационный принцип типа Рейсснера, как в случае полного контакта соседних слоев многослойной структуры, так и при наличии зон ослабленного сцепления. Кроме того, из сформулированных постановок начально-краевых задач трехмерных линейных и некоторых нелинейных классических и линейных микрополярных теорий вязкоупругих тел и некоторых повторно-градиентных теорий упругости получены соответствующие формулировки постановок начально-краевых задач одного варианта трехмерной нелинейной классической теории упругих тонких тел, а также для трехмерной линейной микрополярной теории вязкоупругих тонких тел и некоторых повторно-градиентных теорий упругих тонких тел при новой параметризации областей рассматриваемых тонких тел. Из последних постановок задач в свою очередь получены постановки начально-краевых задач в моментах относительно систем ортогональных полиномов и в частности, относительно системы полиномов Лежандра. Определяющие отношения рассмотренных теорий записываются с помощью тензоров и тензорно-блочных матриц, а также с учетом канонических представлений материальных тензорных объектов. При этом в случае классической теории статические граничные условия и уравнения движения и равновесия представлены дифференциальными тензорами-операторами, а в случае микрополярной и градиентных теорий дифференциальными тензорно-блочными матричными операторами. Для этих операторов построены соответствующие операторы кофакторов, позволяющие расщепление начально-краевых задач. 4. Продолжено системное аналитическое исследование качественных свойств, индикаторов применимости, методик идентификации и приложений в моделировании линейного интегрального ОС вязкоупругости Больцмана-Вольтерры и двух физически нелинейных определяющих соотношений (ОС) для изотропных вязкоупругопластичных материалов: ОС типа Максвелла и ОС Работнова. 5. Построено точное решение квазистатической задачи об определении напряженно-деформированного состояния полого цилиндра (толстостенной трубы) из физически нелинейного вязкоупругого материала в случае задания радиального перемещения внутренней поверхности трубы и давления на внешней поверхности, медленно меняющихся во времени, в частности задачи о релаксации напряжений в трубе. 6. Аналитически исследованы общие свойства кривых ползучести и восстановления и кривых ползучести, порождаемых линейным интегральным определяющим соотношением вязкоупругости Больцмана-Вольтерры (с произвольными функциями сдвиговой и объемной ползучести) для изотропных нестареющих материалов при любых ступенчатых нагружениях. Изучены их зависимость от характеристик функций ползучести и параметров программы нагружения, асимптотика на бесконечности, условия накопления остаточной деформации и затухания памяти. Проанализировано влияние на кривые ползучести перестановки ступеней произвольного (трехосного) нагружения. Сформулировано определение свойства асимптотической коммутативности ОС при перестановке ступеней нагружения, доказано наличие этого свойства у линейного определяющего соотношения вязкоупругости с произвольными (выпуклыми вверх) функциями ползучести. 7. Сформулированы вариационные принципы Лагранжа, Кастильяно, обобщенные вариационные принципы типа Рейсснера, а также принцип виртуальной работы и принцип дополнительной виртуальной работы трехмерной микрополярной механики твердых тел произвольной реологии (например, упругой, вязкоупругой и др.) в случае потенциальности, а также непотенциальности тензоров напряжений и моментных напряжений. 8. Продолжено построение и исследование свойств приближенных решений задачи теории упругости о нагружении неоднородных пластин, получаемых при помощи метода структурных функций. Методом структурных функций первого и второго порядка построены приближения решения задачи о квазистатическом нагружении пластины, составленной из произвольного числа слоев ортотропных в осях координат материалов. В численных примерах установлено хорошее совпадение приближений, полученных методом структурных функций, с известным решением аналогичной задачи в трехмерной постановке.
3 1 января 2023 г.-31 декабря 2023 г. Фундаментальная механика композиционных материалов и других неоднородных сред
Результаты этапа: Из постановок начально-краевых задач трехмерных линейных и некоторых нелинейных классических и линейных микрополярных теорий вязкоупругих тел, а также некоторых повторно-градиентных теорий упругости, даны соответствующие постановки начально-краевых задач для трехмерных теорий тонких тел при новой параметризации областей этих тел. На основании анализа упругих свойств волокнистых резинокордных композитов с использованием метода аппроксимации Ильюшина найдены их вязкоупругие эффективные модули. Описан метод получения функции релаксации вязкоупругого резинокорда. Получена явная формула для вычисления функции релаксации резинокордного композита, используя аппроксимацию экспериментально полученной функции релаксации для вязкоупругой резины, что очень важно для адекватного описания механических свойств резинокордных изделий, в частности, пневматических автомобильных шин.
4 1 января 2024 г.-31 декабря 2024 г. Фундаментальная механика композиционных материалов и других неоднородных сред
Результаты этапа:

Прикрепленные к НИР результаты

Для прикрепления результата сначала выберете тип результата (статьи, книги, ...). После чего введите несколько символов в поле поиска прикрепляемого результата, затем выберете один из предложенных и нажмите кнопку "Добавить".