Математические модели в естествознании и вычислительные методыНИР

Mathematical models in natural science and computational methods

Соисполнители НИР

МГУ имени М.В. Ломоносова Координатор

Источник финансирования НИР

госбюджет, раздел 0110 (для тем по госзаданию)

Этапы НИР

# Сроки Название
1 1 января 2016 г.-31 декабря 2016 г. Математические модели в естествознании и вычислительные методы
Результаты этапа: Получены неулучшаемые априорные оценки решения в пространствах Гёльдера для сингулярно возмущенного уравнения конвекции-диффузии в полуплоскости. Проведен анализ точности приближенных решений, полученных группой новых адаптивных симплектических консервативных методов решения задачи Кеплера. Установлено, что приближенные решения, полученные новыми методами имеют все глобальные свойства точного решения задачи и аппроксимируют зависимости фазовых переменных от времени с либо вторым, либо четвертым, либо шестым порядком точности. Показано, что свойство адаптивности методов важно при расчетах орбит с большими экцентриситетами. Получены решения двух неклассических задач для уравнения Лаврентьева-Бицадзе, Исследован вопрос об однозначной разрешимости этих задач и получены условия, когда нет однозначной разрешимости этих задач. Исследована спектральная задача с комплексным параметром для уравнения Бесселя нулевого порядка, причем этот параметр входит в одно из краевых условий. Удалось сформулировать задачу без спектрального параметра в краевом условии и для этой задачи доказать, что либо вся система образует базис Рисса, либо система переполнена на одну собственную функцию. Схема КАБАРЕ применена для решения двухслойных уравнений мелкой воды над неровным дном. Выполнено применение квазиакустической схемы для решения уравнений мелкой воды. В отчетный период проведено развитие методов частиц (стохастических и детерминистических). Уточнение газодинамических моделей на основе теории случайных процессов. На примере задачи об эволюции аккреционного диска в двойной звёздной системе исследовано влияние аппроксимационной вязкости разностных схем годуновского типа. Проведены расчёты по схемам первого и повышенного порядка аппроксимации. В схеме повышенного порядка учитывался тензор вязких напряжений, с помощью которого моделировалось влияние аппроксимационной вязкости, присутствующей в схеме первого порядка. Показано, что аппроксимационная вязкость схемы может приводить к глобальным качественным изменениям моделируемых течений. Результаты расчетов также демонстрируют некоторые новые особенности газодинамических течений в этой классической задаче современной астрофизики. Изучено воздействие электромагнитной волны на цилиндрический диэлектрик, а также проведён эксперимент. Разработан алгоритм защиты сверхпроводниковых схем от влияния паразитных вихревых структур. Предложен метод конечных элементов и программа расчета нелинейных вихревых структур в сверхпроводниковых структурах. В отчетный период изучалась проблема МГД стабильности электролиза металлов. Проводились работы по исследованию функциональных свойств решений дифференциальных уравнений математической физики с помощью кососимметричных дифференциальных форм. Показано, что уравнения, описывающие процессы в материальных средах, имеют двойные решения. Такие решения описывают процессы возникновения различных структур и образований (волн, вихрей, турбулентных пульсаций).
2 1 января 2017 г.-31 декабря 2017 г. Математические модели в естествознании и вычислительные методы
Результаты этапа: Для сингулярно возмущенного уравнения конвекции-диффузии в полуплоскости получены неулучшаемые априорные оценки решения в пространствах Гёльдера через граничные условия Дирихле. Метод конечных элементов применен для решения нелинейных эллиптических уравнений, описывающих вихревые структуры в сверхпроводниковых микроструктурах (Абрикосовские вихри). Написана программа и проведены расчеты таких структур. Показано, что результаты расчетов совпадают с экспериментом. Разработаны и исследованы новые численные методы решения задачи Коши для гамильтоновых систем. Проведено обобщение квазиакустической схемы для решения уравнений мелкой воды над неровным дном на случай двух пространственных измерений. Осуществлено применение квазиакустической схемы к решению задачи о набегании ударной волны на наклонный берег. Проведено математическое моделирование течений вязкого газа в пространстве между коаксиально вращающимися цилиндрами и сферами. Исследовано влияния числа Маха на особенности моделируемых вихревых течений. Показано, что при малых значениях числа Маха моделируемые течения обладают свойствами характерными для несжимаемой жидкости. Продолжено изучение разрывного метода частиц с точки зрения его обоснования, повышения точности, особенностям реализации в многомерном случае, сравнения с другими методами, возможности распараллеливания, применения к транспортным задачам, к системам уравнений газовой динамики. Исследованы условия течения лимфы в лимфатической системе под действием градиента давления при наличии силы тяжести. Получены некоторые точные решения системы квазиодномерной уравнений гемодинамики при наличии активных сокращений сосудов. Исследованы свойства различных аппроксимаций основных дифференциальных операторовметодом опорных операторов на треугольной сетке. Развивались стохастические подходы к иерархическим моделям больших систем: строился тензор вязких напряжений на основе модели Шахова и ЭС -модели; выводились уравнения магнитной газодинамики на основе столкновительной модели заряженных частиц в сильном внешнем магнитномполе; исследовались некоторые экономические модели с помощью теории диффузионных случайных процессов.
3 1 января 2018 г.-31 декабря 2018 г. Математические модели в естествознании и вычислительные методы
Результаты этапа: Для неоднородного сингулярно возмущенного уравнения конвекции-диффузии с постоянными коэффициентами и неоднородным граничным условием Дирихле получены неулучшаемые равномерные по малому параметру априорные оценки в пространствах Гёльдера $C^{k,\lambda}$. Проведен анализ точности однопараметрического семейства адаптивных симплектических консервативных методов решения задачи о рассеянии на силовом центре. В ходе моделирование процессов в жидком ядре Земли рассмотрена структура течения, возникающая за счет тепловой конвекции во вращающейся сферической оболочке при вязких граничных условиях в предположении, что дифференциальное вращение ядра и мантии отсутствует. Исследованы радиальная, азимутальная и меридиональная компоненты скорости течения, а также его спиральность. В предположении вмороженности магнитного поля в жидкость показано, что результаты модельного расчета соответствуют наблюдениям вариаций геомагнитного поля вблизи полюса. Разработана и программно реализована квазиакустическая схема для решения двухмерных уравнений мелкой воды над неровным дном с участками "сухого-влажного" дна. Схема применена к решению задачи об обтекании трёх "сухих" холмов. Продолжено изучение разрывного метода частиц с точки зрения его обоснования, повышения точности, особенностям реализации в многомерном случае, сравнения с другими методами (в частности широко известным SPH), возможности распараллеливания, применения к транспортным задачам, к системам уравнений газовой динамики. Развивались стохастические подходы к иерархическим моделям больших систем: строился тензор вязких напряжений на основе модели Шахова и ЭС - модели; выводились уравнения магнитной газодинамики на основе столкновительной модели заряженных частиц в сильном внешнем магнитном поле; исследовались некоторые экономические модели с помощью теории диффузионных случайных процессов. На основе кососимметричных форм показано, что из уравнений математической физики получается эволюционное соотношение, которое описывает эволюционные процессы и соответствует уравнениям теории поля. На основе метода конечных элементов разработаны математическая модель, вычислительный алгоритм  и программа для SFN (сверхпроводник-ферромагнетик-нормальный металл) сверхпроводниковых структур. Проведены расчеты.Разработаны прямые численные методы для задач оптимального управления. В результате работ по математическому моделированию в биологии и медицине была разработана математическая модель печени, интегрированная в граф сердечно-сосудистой системы человека. Проведены численные эксперименты, отражающие особенности кровотока в норме и при различных степенях некроза печени.
4 1 января 2019 г.-31 декабря 2019 г. Математические модели в естествознании и вычислительные методы
Результаты этапа: Для сингулярно возмущенного уравнения конвекции-диффузии с переменными коэффициентами исследована задача Дирихле в единичном квадрате с конвекцией, направленной ортогонально одной из сторон квадрата, и для регулярной составляющей решения этой задачи получены неулучшаемые априорные оценки в нормах гёльдеровых пространств через соответствующие нормы правой части уравнения и граничной функции. Изучен вопрос о близости решения задачи Коши для одномерного уравнения теплопроводности и его гиперболизированной версии для негладких контуров и разрывных начальных данных. Схема КАБАРЕ обобщена на треугольные сетки и разработаны разностные схемы для уравнений мелкой воды. Проведены расчеты тестовых и модельных задач. Показана применимость схемы КАБАРЕ для прямого моделирования термоакустической неустойчивости (вибрационного горения) в газогенераторах энергетических и силовых установок. Проведен расчет цунами Окушири в долине Монай (Япония, 1993 г.).Реализован параллельный вариант квазиакустической схемы для расчета двухмерных уравнений мелкой воды над неровным дном при наличии участков сухового/влажного дна на многопроцессорных системах с общей памятью. Начата работа по обобщению алгоритма квазиакустической схемы на треугольные сетки. Разработаны новые адаптивные численные методы решения задачи о рассеянии на силовом центре. Методы сохраняют глобальные свойства точного решения задачи и аппроксимируют зависимости фазовых переменных от времени либо с вторым, либо с четвёртым, либо с шестым порядком. Переменный шаг по времени выбирается автоматически, исходя из свойств решения, двумя различными способами. Исследовано влияние согласованности уравнений законов сохранения энергии и количества движения на свойства решений газодинамических задач. Показано, что для описания эволюционных процессов и возникновения различных структур необходимо использовать одновременно две неэквивалентные системы координат или два способа решения уравнений: численное и аналитическое. В ходе моделирование процессов в жидком ядре Земли исследованы влияние различных способов аппроксимация граничных условий на границах жидкого и твердого ядра, а также жидкого ядра и мантии. Проведена серия двумерных и трехмерных численных расчетов течений газа во вращающейся сферической оболочке с учетом гравитации с параметрами близкими к земным. Показано, что интенсивная конвекция возникает без предположения дифференциального вращения с условиями непротекания на обеих границах. Построена анатомически адекватная модель сети венозных сосудов непарных органов брюшной области и бассейна воротной вены, интегрированная в общую модель большого круга кровообращения. Проведен цикл вычислительных экспериментов по моделированию перераспределения потоков венозной и артериальной крови в условиях портальной гипертензии при фиброзе печени. Исследованы гидродинамические особенности кровотока с учетом анатомических и искусственных шунтов и их влияние на уменьшение давления в портальной вене. Разработаны алгоритмы и программы моделирования сверхпроводниковых SFN структур с помощью метода конечных элементов, проведены расчеты перспекимвных реальных структур. Усовершенствован алгоритм и программа экстракции индуктивностей сверхпроводниковых микроэлектронных структур, проведены расчеты новых схем предназначенных для реализации искусственных нейронов.
5 1 января 2020 г.-31 декабря 2020 г. Математические модели в естествознании и вычислительные методы
Результаты этапа:

Прикрепленные к НИР результаты

Для прикрепления результата сначала выберете тип результата (статьи, книги, ...). После чего введите несколько символов в поле поиска прикрепляемого результата, затем выберете один из предложенных и нажмите кнопку "Добавить".